Фамилия Анцев — одна из тех, где за короткой основой скрывается сразу несколько возможных историй, и решить, какая из них верна для конкретной семьи, можно только по дополнительным данным. В любом случае, фамилия образована по простой и распространённой модели: к основе Анц добавили типичный русский суффикс принадлежности -ев, указывающий на происхождение от отца: «сын Анца».

Самая вероятная версия связывает фамилию с просторечной формой редкого сегодня имени Онисифор (Анцифер). Имя это греческое, означает «пользу приносящий». В народном обиходе длинное имя сократили до короткого «Анц», и от этого прозвища-имени и пошла фамилия. Покровителем имени считается апостол Онисифор, ученик апостола Павла, поэтому фамилия Анцев косвенно связана с христианской традицией, хотя её носители могли быть и крестьянами, и духовенством.

Есть и другая, менее очевидная, но исторически подкреплённая версия: Анц — это русифицированное немецкое имя, краткая форма от Ханс (которое, в свою очередь, восходит к Иоганну, то есть к библейскому «Иоанн» — «дар Бога»). В документах XVII века действительно встречаются «немцы» (так тогда называли всех иностранцев) с таким именем. В Угличе в 1622 году упоминаются помещики «иноземец немец Анц Романов сын» и «Анц Володимеров сын Фонлюбек»; во Владимире в 1621 году — помещик Анц Круз, а в документе 1598 года — «голанский немец рудознатец Анц». Если предки-носители фамилии были из этих краёв или имели западноевропейские корни, то фамилия могла появиться именно от такого иноземца, который обрусел и передал своё имя потомкам в форме Анцев.

Таким образом, фамилия Анцев — это либо сокращение от Онисифора (Анцифера), либо русификация немецкого имени. Первая версия подходит для большинства русских фамилий на -ев, вторая — более экзотична, но подтверждается конкретными историческими записями.