Фамилия Анцын образована по одной из самых распространённых в русской ономастике моделей — с суффиксом -ин, который указывает на принадлежность: «чей?» — Анцын, то есть сын или потомок человека по имени или прозвищу Анца. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто давали по отцу-кормильцу, -ин чаще присоединялся к основам, оканчивающимся на -а или -я, что сразу наводит на мысль о краткой, разговорной форме имени.

Основа «Анц-» — это усечённый вариант крестильного имени Анца, которое, в свою очередь, является уменьшительно-ласкательной или просторечной формой от канонических имён Антон (через греч. Антоний) или реже Андрей. В русских говорах и бытовой речи XVI–XVII веков такие сокращения были обычны: Антон превращался в Анцу, Анцю, Анцку, а от них уже шли фамилии. Подтверждение этому находим в словаре Б. Унбегауна, где модели на -ин от форм на -ца, -ця считаются типично русскими, особенно в северных и центральных регионах.

Есть и вторая, менее очевидная версия: прозвище Анца могло произойти от глагола «анцыть» или «анчить» — в некоторых южнорусских и украинских говорах это означало «ныть, жаловаться, скулить». Если так, то фамилия Анцын изначально была прозвищной: так могли назвать капризного или постоянно недовольного человека. Однако эта версия слабее, поскольку глагол редкий и локальный, а имя Антон — повсеместное. Правдоподобнее считать, что перед нами отчество от обиходного варианта Антон.

Географически фамилия Анцын встречается нечасто, но заметна в записях по Тверской, Ярославской и Вологодской губерниям — как раз в зоне бытования северного наречия, где -ин как патронимический суффикс был особенно активен. Встречаются варианты написания: Анцын, Анцына (женская форма), изредка Анцын с твёрдым произношением. Сословно носители могли быть как крестьянами, так и посадскими людьми — фамилия не несёт признаков дворянского или духовного происхождения.

Таким образом, Анцын — это типичная русская фамилия-отчество, возникшая от домашнего имени Анца, за которым стоит имя Антон. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, был потомком человека по имени Антон, которого в быту звали Анца.