Фамилия Анцева — женская форма, её мужской вариант Анцев. Чтобы разобраться в происхождении, достаточно посмотреть на основу «Анц-» и суффикс «-ев». Суффикс указывает на принадлежность: Анцев буквально значит «сын Анца» или «человек из рода Анца». В русских фамилиях «-ев» присоединялся к основам на мягкий согласный или шипящий, как здесь.

Самая вероятная версия: основа «Анц» — краткая, разговорная форма крестильного имени Анц, которое восходит к каноническому Антон (от латинского Antonius). В народной речи Антон часто сокращали: Антоня, Антя, Анца. Так появилось обиходное имя или прозвище Анц. Фамилии от уменьшительных форм — обычное дело: от Анца образовались Анцев, Анцевич и, соответственно, Анцева. Это прямая и логичная цепочка, характерная для массы русских фамилий, где полное имя в быту ужималось до одного-двух слогов.

Менее распространённая версия — связь с прозвищем по внешности или поведению. В некоторых говорах «анца» или «анцы» могло означать «простофиля» или «разиня». Но эта гипотеза слабее: такое слово почти не зафиксировано в диалектных словарях, а большинство фамилий на «-ев» образовано от имён, а не от прозвищ с неясной семантикой. Поэтому притягивать эту версию без серьёзных оснований не стоит.

Географически фамилия Анцев (и Анцева) встречается в основном в центральных и южных областях России, особенно в Ростовской области и Краснодарском крае. Это косвенно подтверждает связь с именем Антон, которое было широко распространено среди крестьян именно в этих регионах. Социальный слой — почти наверняка крестьянство или мещанство: дворянские роды с такой фамилией не известны.

В написании стоит обратить внимание на букву «ц»: фамилия не имеет отношения к немецкому корню «анц» (как в слове «анцлаг»), это чисто русская словообразовательная модель. Если встретится вариант Анцова — это уже другая фамилия, от основы Анцо (тоже уменьшительное от Антон), но с другим суффиксом. Для владельца фамилии Анцева главный ориентир — имя Антон, а не экзотическое прозвище.