Фамилия Анцева — женская форма, а её мужской вариант — Анцев. Чтобы понять происхождение, нужно разобрать основу «Анц-» и суффикс «-ев». Суффикс указывает на принадлежность: Анцев буквально значит «сын Анца» или «человек из рода Анца». В русских фамилиях суффикс «-ев» присоединялся к основам на мягкий согласный или шипящий, что здесь и происходит.

Самая вероятная версия: основа «Анц» — это краткая, разговорная форма крестильного имени Анц, которое в свою очередь восходит к каноническому имени Антон (от латинского Antonius). В народной речи имя Антон часто сокращали: Антоня, Антя, Анца. Так появилось прозвище или обиходное имя Анц. Фамилии от уменьшительных форм — обычное дело: от Анца образовались Анцев, Анцевич и, соответственно, Анцева.

Менее распространённая, но возможная версия — связь с прозвищем, данным по внешности или поведению. В некоторых говорах «анца» или «анцы» могло означать что-то вроде «простофиля» или «разиня». Однако эта гипотеза слабее: во-первых, такое слово почти не зафиксировано в диалектных словарях, во-вторых, большинство фамилий на «-ев» всё же образовано от имён, а не от прозвищ с неясной семантикой.

Географически фамилия Анцев (и Анцева) встречается в основном в центральных и южных областях России, особенно в Ростовской области и Краснодарском крае. Это косвенно подтверждает связь с именем Антон, которое было широко распространено среди крестьян именно в этих регионах. Социальный слой — почти наверняка крестьянство или мещанство: дворянские роды с такой фамилией не известны.

В написании стоит обратить внимание на букву «ц»: фамилия не имеет отношения к немецкому корню «анц» (как в слове «анцлаг»), это чисто русская словообразовательная модель. Если встретится вариант Анцова — это уже другая фамилия, от основы Анцо (тоже уменьшительное от Антон), но с другим суффиксом.