Фамилия Анцукова — это женская форма, а её мужской вариант — Анцуков. В русской традиции такие фамилии чаще всего образуются от личных имён, прозвищ или названий профессий с помощью суффикса -ов, который указывает на принадлежность («чей?»). Основа здесь — Анцук. Это имя или прозвище, и его происхождение стоит разобрать подробнее, потому что оно не лежит на поверхности.

Анцук — это, скорее всего, уменьшительная форма одного из крестильных имён. Самый вероятный кандидат — Антон (от греческого «вступающий в бой»). В народной речи имя Антон давало множество производных: Антоха, Антоша, а в некоторых говорах — Анцук, через чередование звуков «т» и «ц» (как в парах «Тихон — Цихон» или «Тит — Цит»). Такая модель характерна для западных и южных русских говоров, а также для украинского и белорусского языков, где суффикс -ук (в русской передаче -ук) активно используется для образования уменьшительных имён (например, Иван — Иванюк, Пётр — Петрук). Менее вероятно, но возможно, что Анцук восходит к имени Анцифер, народной форме имени Онисифор (греческое «приносящий пользу») — от него тоже могли образовать сокращение Анцук.

Географически фамилия Анцуковы тяготеет к южнорусским регионам и, возможно, к бывшим казачьим областям. Встречается она и на Украине, где фамилии на -ук вообще очень распространены. Первые носители, скорее всего, были крестьянами или казаками, и фамилия закрепилась за ними как отчество: «сын Анцука», то есть сын человека по имени Анцук. В официальных документах XIX века такую фамилию могли записать уже как родовую, передающуюся по наследству.

Интересно, что фамилия Анцукова не имеет отношения к слову «анцуг» (немецкое «упряжь»), которое иногда встречается в диалектах. Это ошибочная версия, возникающая из-за созвучия, — основы тут разные. В ономастических справочниках (например, в работах Б. Унбегауна) фамилии на -ук обычно связывают именно с личными именами, а не с нарицательными словами. Таким образом, предок современных Анцуковых, скорее всего, носил простонародное имя Анцук, которое для своего времени было обычным домашним вариантом официального Антона.