Фамилия Анцукова — женская форма, мужской вариант — Анцуков. В русской традиции такие фамилии образуются от личных имён, прозвищ или профессий с помощью суффикса -ов, указывающего на принадлежность: «чей?» — «Анцуков», то есть сын Анцука. Основа здесь — Анцук, и её происхождение не лежит на поверхности.

Анцук — уменьшительная форма одного из крестильных имён. Самый вероятный кандидат — Антон (от греческого «вступающий в бой»). В народной речи имя Антон давало множество производных: Антоха, Антоша, а в некоторых говорах — Анцук, через чередование «т» и «ц» (как в парах «Тихон — Цихон» или «Тит — Цит»). Такая модель характерна для западных и южных русских говоров, а также для украинского и белорусского языков, где суффикс -ук активно образует уменьшительные имена (Иван — Иванюк, Пётр — Петрук). Менее вероятно, что Анцук восходит к имени Анцифер — народной форме Онисифора (греческое «приносящий пользу»), от которого тоже могли образовать сокращение Анцук.

Географически фамилия Анцуковы тяготеет к южнорусским регионам и бывшим казачьим областям. Встречается и на Украине, где фамилии на -ук очень распространены. Первые носители, скорее всего, были крестьянами или казаками, и фамилия закрепилась за ними как отчество: «сын Анцука». В официальных документах XIX века её записывали уже как родовую, передающуюся по наследству.

Интересно, что фамилия Анцукова не имеет отношения к слову «анцуг» (немецкое «упряжь»), которое иногда встречается в диалектах. Это ошибочная версия из-за созвучия — основы разные. В ономастических справочниках, например в работах Б. Унбегауна, фамилии на -ук связывают с личными именами, а не с нарицательными словами. Таким образом, предок современных Анцуковых, скорее всего, носил простонародное имя Анцук — обычный домашний вариант официального Антона.