Фамилия Анурьев ведет свое начало от личного имени Анурий. Это не самостоятельное имя, а диалектная, народная форма канонического мужского имени Онуфрий, которое пришло на Русь вместе с христианством из Византии. Греческое слово, лежащее в основе имени Онуфрий, имеет два толкования: «имеющий осла» или «относящийся к египетскому священному быку». Второе значение связано с образом Аписа — священного быка в Древнем Египте, что указывает на глубокую древность и восточное происхождение корня. На русской почве имя Онуфрий обросло множеством просторечных вариантов: Онур, Анур, Анурий, от одного из которых и пошла фамилия Анурьев.

Существует иная, менее убедительная версия, которая выводит фамилию из арабского имени Анур. В переводе с арабского оно означает «луч», «сияние», «свет» или «белизна». Однако эта гипотеза не подкреплена широкой географией фамилии: Анурьевы — это коренная русская фамилия, распространенная преимущественно в центральных и северных областях России, где имя Онуфрий было хорошо известно. Вероятнее всего, перед нами именно трансформация православного имени, а не заимствование из мусульманской традиции.

По модели образования фамилия типична для русской ономастики: суффикс -ев присоединился к основе Анурь (от формы Анурий), указывая на принадлежность — «сын Анурия». С течением времени отчество закрепилось как наследственное родовое имя. Таким образом, предок носителя фамилии Анурьев, скорее всего, был человеком, носившим в быту имя Анурий, и его потомки стали писаться как Анурьевы.