Фамилия Анурина — женская форма, а мужская, соответственно, Анурин. Она образована по простой и распространённой модели: к основе, в данном случае к имени или прозвищу, добавили типичный русский суффикс принадлежности -ин. Этот суффикс отвечает на вопрос «чей?» и указывает на родство: Анурин — значит «сын Ануры» или «человек из семьи Ануры».

Самая вероятная основа — каноническое имя Анурий. Это редкая форма крестильного имени Иоанн, которая возникла в народной речи. В русских говорах имя Иоанн (в быту — Иван) давало множество производных: Иванко, Ванечка, Ванюта и, через ряд фонетических изменений, Анур. Ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог: Ану́рин. Такой вариант встречается в документах XVII века, например, в переписных книгах по Вологде и Тотьме упоминаются крестьяне Анурины.

Есть и вторая версия, менее вероятная, но не лишённая оснований. В северных и сибирских говорах словом «анура» могли называть непоседливого, суетливого человека или, наоборот, ворчунью. Однако эта лексема не закрепилась в литературном языке и встречается в основном в диалектных словарях. Если фамилия произошла от такого прозвища, то она указывала бы на характер предка — беспокойного или брюзгливого.

Интересно, что фамилия Анурин географически привязана к Русскому Северу и Поволжью. В метрических книгах XIX века она встречается в Вятской, Костромской и Архангельской губерниях. Это говорит о том, что предки носителей фамилии были, скорее всего, государственными или монастырскими крестьянами, а не дворянами — фамилии на -ин у высших сословий образовывались иначе или имели другую основу.

Коротко: Анурины — потомки человека, которого в быту звали Анура (от имени Иван). Фамилия старая, крестьянская, северорусская. Встречается редко, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска именно по Вятке и Заволжью.