Фамилия Апасов, скорее всего, восходит к тюркскому прозвищу Апас. Слово apas в турецком языке означает «лихач, сорви-голова», поэтому такое прозвище могли дать человеку решительному, смелому, отчаянному. Суффикс -ов указывает на типичную русскую модель образования фамилий (буквально — «сын Апаса»), что говорит о давнем взаимодействии тюркских и славянских именных традиций.

Менее вероятна, но тоже возможна связь с чувашским словом «апас». В чувашском у него два значения: «жрец, руководитель молний, повитух» и «болтун, пустомеля». В первом случае прозвище могло закрепиться за знахарем или человеком, связанным с обрядами, во втором — за тем, кто любил поговорить. Однако версия с тюркским «лихачом» выглядит правдоподобнее: она проще и вписывается в более широкий ареал распространения подобных прозвищ у народов, говоривших на огузских языках.

Фамилия относится к типу древнейших восточных фамилий, то есть возникла на стыке культур, когда тюркское прозвище получило русский патронимический суффикс. Встречается она преимущественно в Поволжье и на Урале — регионах, где исторически жили тюркские и чувашские народы в тесном контакте с русскими.