Фамилия Апатонова — женская форма от Апатонов, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель на -ов типична для русских фамилий, образованных от прозвищ или мирских имён, оканчивающихся на твёрдый согласный. В данном случае основа — Апатон. Что скрывается за этим словом?

Самая прямая версия отсылает к диалектному глаголу «апать» — в некоторых говорах это означало «хватать, брать», а также «говорить быстро или невнятно». Человек, которого прозвали Апатоном, мог быть хватким, расторопным, либо, наоборот, неразборчивым в речи. Суффикс -он в прозвищах встречается реже, чем -ун, но встречается: ср. диалектное «апа» (ротозей, разиня) — тогда прозвище могло нести ироничный оттенок. Оба варианта возможны, и без точной записи из писцовой книги XVI–XVII веков трудно выбрать один.

Есть и более редкая версия — связь с тюркским корнем «апа» (старшая сестра, мать, уважительное обращение к женщине). В таком случае прозвище Апатон могло закрепиться за человеком, который воспитывался в семье с нерусскими корнями или получил прозвище от татарского слова. Но здесь мешает суффикс -он, нехарактерный для тюркских заимствований в русские прозвища: обычно они давали формы вроде Апаев, Апанов. Поэтому версия с русским диалектным корнем выглядит убедительнее.

Географически фамилия Апатонов не привязана к одной губернии: её фиксируют в списках переселенцев в Сибирь, а также в центральных областях России. В XIX веке носители встречались среди крестьян и мещан, что типично для фамилий на -ов, не связанных с духовенством или дворянством. В написании возможна путаница с Апатовыми (от имени Апат, сокращённого от Афанасий) или с Апатиновыми, но это разные семьи.

Если коротко: предок носителя фамилии Апатонов получил прозвище Апатон — скорее всего, за манеру речи или характер. Фамилия редкая, и её форма с суффиксом -он выделяет её среди более частых аналогов.