Фамилию Апатонова, женскую форму от Апатонов, стоит начать разбирать с суффикса, а не с корня. Модель на -ов в данном случае образована от прозвища, оканчивающегося на твёрдый согласный, — Апатон. Это слово само по себе редкое и неочевидное, что и делает фамилию интересной.

Самая прямая версия связывает основу с диалектным глаголом «апать». В некоторых русских говорах это означало «хватать, брать», а также «говорить быстро или невнятно». Человек, которого прозвали Апатоном, мог быть хватким и расторопным, либо, наоборот, отличаться неразборчивой речью. Суффикс -он в прозвищах встречается реже, чем распространённый -ун, но он существует: вспомните диалектное «апа» — ротозей, разиня. В этом случае прозвище могло нести ироничный оттенок. Оба варианта возможны, и без точной записи из писцовой книги XVI–XVII веков трудно выбрать один.

Есть и более редкая версия — связь с тюркским корнем «апа» (старшая сестра, мать, уважительное обращение к женщине). Тогда прозвище Апатон могло закрепиться за человеком, который воспитывался в семье с нерусскими корнями. Но здесь мешает суффикс -он, нехарактерный для тюркских заимствований в русские прозвища: обычно они давали формы вроде Апаев или Апанов. Поэтому версия с русским диалектным корнем выглядит убедительнее.

Географически фамилия Апатонов не привязана к одной губернии: её фиксируют в списках переселенцев в Сибирь, а также в центральных областях России. В XIX веке носители встречались среди крестьян и мещан, что типично для фамилий на -ов, не связанных с духовенством или дворянством. В написании возможна путаница с Апатовыми (от имени Апат, сокращённого от Афанасий) или с Апатиновыми, но это разные семьи.

Если коротко: предок носителя фамилии Апатонов получил прозвище Апатон — скорее всего, за манеру речи или характер. Фамилия редкая, и её форма с суффиксом -он выделяет её среди более частых аналогов.