Фамилия Апполонин — редкий случай, когда в основе лежит не славянское имя или прозвище, а древнегреческое имя Аполлон (с удвоенной «п» в русской традиции). Такие фамилии обычно образовывали от крестильных имён, которые давали при крещении. В святцах имя Аполлон встречается, но популярным на Руси оно не было, поэтому и носителей фамилии мало.

Словообразовательная модель простая: суффикс -ин указывает на принадлежность. Апполонин — буквально «чей?» — «сын Аполлона» или «человек из семьи Аполлона». Это типичная патронимическая фамилия, то есть образованная от имени отца. Двойное «п» в корне — книжное, церковное написание, которое закрепилось в документах. В быту имя могли произносить и писать как «Аполон», но фамилия сохранила более торжественный, «учёный» вариант.

Интересно, что имя Аполлон в России XVIII–XIX веков иногда давали в семинарской среде — будущим священникам и учителям. Семинаристам нередко «переделывали» фамилии на греческий лад или давали имена античных богов. Поэтому предок-носитель фамилии Апполонин мог быть либо выходцем из духовного сословия, либо человеком, чей отец получил редкое имя по святцам. Версия о происхождении от прозвища (например, за красоту или игру на лире) маловероятна: слишком книжная основа.

С точки зрения географии фамилия встречается рассеянно, без ярко выраженного «гнезда». Встретить Апполониных можно и в центральной России, и на Урале — везде, где осели семьи священников или грамотных крестьян, получивших фамилию при переписях. Удвоенная согласная часто создавала путаницу в документах: писали и с одной «п», и с двумя, но в современном паспорте закрепился именно вариант с двумя «п». Ономасиологический словарь Б. Унбегауна относит такие фамилии к группе «искусственных» или «семинарских», что подтверждает версию о духовном происхождении. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был либо священником, либо сыном человека, получившего редкое имя по церковному календарю.