Фамилия Аренчихины — редкий пример, когда фамилия образована не напрямую от имени, а через сложную цепочку народных переделок. Её основа — женское имя Арина, которое в русском языке было обиходной формой церковного имени Ирина. В Древней Греции Ирина (Эйрена) была богиней мирной жизни, её особенно почитали в Афинах, где в память объединения двенадцати общин Аттики приносили бескровную жертву. На иконах Ирину часто изображали с младенцем Плутосом — покровителем богатства. Небесной покровительницей имени считается мученица Ирина Коринфская: вместе с другими христианами она жила в пещере, проводя время в молитвах, и за веру была усечена мечом в 258 году.

Но фамилия выглядит не как обычное «Аринин» или «Аринкин». Суффикс -их- указывает на особую модель, типичную для северных и северо-восточных областей России (Вологодчина, Архангельский край, Пермская губерния). В этих говорах фамилии на -их и -ых (Аренчихины, Больших, Скорых) означали принадлежность ко всему роду: «из семьи Аринчихи». То есть фамилия отвечала на вопрос «чьи будете?» — Аренчихины.

Форма Аренчиха — это, скорее всего, прозвище или обиходное именование женщины по имени Арина, но с местным фонетическим изменением: в северных говорах «а» после мягких согласных могло переходить в «е» (Арина → Арена → Аренчиха). Суффикс -чих- характерен для образования женских прозвищ от мужских имён или профессий (ткачиха, повариха), но здесь он прирос прямо к основе женского имени, что редкость. Возможно, Аренчихой называли жену или вдову человека по прозвищу Аренча (тоже производное от Арины), но более вероятно, что прозвище получила сама женщина — например, бойкая или заметная Арина.

Есть и другая, менее вероятная версия: имя могло восходить к мужскому крестильному имени Ириней (от греч. «мирный»). Оно почти вышло из употребления, но от него могли образовать краткую форму Ирина, а затем Арина — по аналогии с тем, как от Зиновия получилось Зина, от Алексея — Алекса. Однако для фамилии Аренчихин эта цепочка слишком длинная, и версия с женским именем Арина выглядит убедительнее.

В итоге фамилия Аренчихины — это «матроним», то есть фамилия по матери. Такие фамилии давались, если женщина воспитывала детей одна, была главой дома или просто её имя в округе было известнее, чем имя мужа. В северных деревнях, где женщины нередко вели хозяйство, пока мужья уходили на промыслы, матронимы встречались чаще, чем в центральной России. Так что предки современных Аренчихиных, скорее всего, жили на Русском Севере, а родоначальницей фамилии стала женщина по имени Арина, которую в деревне звали Аренчихой.