Фамилия Аргинская — женская форма, указывающая на происхождение от мужской фамилии Аргинский. Сама по себе она редкая, и её разговорный вариант без окончания -ая (Аргинский) встречается чаще, но обе формы восходят к одному корню. Чтобы понять значение, нужно разобрать основу «Аргин-» и суффикс.

Словообразовательная модель прозрачна: суффикс -ск- указывает на принадлежность к чему-то или связь с географическим объектом. В русской ономастике фамилии на -ский/-ской традиционно давались либо по названию местности (села, города, урочища), либо по прозвищу, образованному от топонима. Основа «Аргин-» почти наверняка связана с рекой или населённым пунктом. На карте России есть несколько рек с названием Арга (притоки Волги, Урала, Енисея), а также река Аргунь и озеро Аргинское в Забайкалье. Однако корень «Аргин-» конкретно встречается в названии реки Аргинка в Пермском крае и в фамилиях, записанных в Сибири и на Урале. Таким образом, предок носителя фамилии мог быть выходцем с берегов реки Аргинка или из села, стоявшего на ней.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от тюркского или монгольского личного имени Аргын. В казахской и киргизской среде есть род Аргын, а имя Аргын (или Аргин) означало «сильный», «могучий». Если предок был крещёным татарином или башкиром, фамилия могла закрепиться по отцу — Аргин (сын Аргина) → Аргинский. Но в таком случае суффикс -ский выглядит как русификация, а не как типичный тюркский патроним.

Социальный контекст: фамилии на -ский в XVIII–XIX веках часто носили дворяне или духовенство, но также и крестьяне, переселившиеся из одной губернии в другую и получившие прозвище по месту выхода. Аргинская вполне могла принадлежать семье священника (по названию прихода) или государственного крестьянина, переехавшего с Урала в Сибирь. Точных данных о сословной принадлежности нет, но география подсказывает: ищите корни в Пермской, Тобольской или Иркутской губерниях.

Итог: фамилия Аргинская — топонимическая, указывает на связь с рекой или селом Аргинка/Аргинское. Версия с тюркским именем возможна, но слабее, так как суффикс -ский в таких случаях встречается реже. Для точного ответа нужно смотреть метрические книги или ревизские сказки конкретного региона — скорее всего, Урала или Сибири.