Фамилия Аргинская — женская форма, указывающая на происхождение от мужской фамилии Аргинский. Разговорный вариант без окончания -ая встречается чаще, но обе формы восходят к одному корню. Словообразовательная модель прозрачна: суффикс -ск- в русской ономастике традиционно указывает на принадлежность к географическому объекту — селу, городу или урочищу. Именно с топонимической версии стоит начинать, и она же — самая надёжная.

Основа «Аргин-» почти наверняка связана с рекой или населённым пунктом. На карте России есть несколько рек с названием Арга (притоки Волги, Урала, Енисея), а также река Аргунь и озеро Аргинское в Забайкалье. Но конкретно корень «Аргин-» встречается в названии реки Аргинка в Пермском крае и в фамилиях, записанных в Сибири и на Урале. Значит, предок носителя фамилии мог быть выходцем с берегов реки Аргинка или из села, стоявшего на ней. Фамилии на -ский в XVIII–XIX веках часто носили дворяне или духовенство, но также и крестьяне, переселившиеся из одной губернии в другую и получившие прозвище по месту выхода. Аргинская вполне могла принадлежать семье священника (по названию прихода) или государственного крестьянина, переехавшего с Урала в Сибирь. Точных данных о сословной принадлежности нет, но география подсказывает: ищите корни в Пермской, Тобольской или Иркутской губерниях.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от тюркского или монгольского личного имени Аргын. В казахской и киргизской среде есть род Аргын, а имя Аргын (или Аргин) означало «сильный», «могучий». Если предок был крещёным татарином или башкиром, фамилия могла закрепиться по отцу — Аргин (сын Аргина) → Аргинский. Но в таком случае суффикс -ский выглядит как русификация, а не как типичный тюркский патроним. Эта гипотеза слабее, потому что для тюркских основ в русских фамилиях характернее суффиксы -ов/-ев или -ин, а не -ский.

Итог: фамилия Аргинская — топонимическая, указывает на связь с рекой или селом Аргинка/Аргинское. Версия с тюркским именем возможна, но менее убедительна из-за редкого для таких случаев суффикса. Для точного ответа нужно смотреть метрические книги или ревизские сказки конкретного региона — скорее всего, Урала или Сибири.