Фамилия Аргинский в первую очередь говорит о географическом происхождении — её носитель был выходцем из местности, связанной с названием Арга, Аргино или Аргинск. Типичный суффикс -ский в русских фамилиях XVII–XIX веков выполнял роль маркера: он указывал не просто на место рождения, а на владение землёй или принадлежность к определённой местности, что в сословном обществе придавало фамилии вес. Именно поэтому Аргинские — это почти наверняка не крестьяне, а либо мелкопоместные дворяне, либо люди духовного звания, получившие фамилию при окончании семинарии (где «простонародные» окончания часто заменяли на -ский).

Самый вероятный географический ориентир — река Арга, правый приток Суры в Нижегородской области. Там же находится село Арга, от которого и пошла фамилия. Гидроним восходит к финно-угорскому корню «ар» — «ручей» или «вода», что типично для названий рек Поволжья. Менее вероятная версия — топоним Аргин в Забайкалье или на Урале, но документальные записи XVIII–XIX веков встречаются в основном в Пензенской и Нижегородской губерниях, что подтверждает связь именно с рекой Аргой.

Словообразовательно Аргинский стоит в ряду однокоренных фамилий: Аргин, Аргинов, Аргинцев. Но если Аргин или Аргинов могли дать крестьянину по прозвищному имени Арга, то форма на -ский — более книжная и поздняя, она почти всегда несла оттенок привилегированного сословия. Массового распространения фамилия не получила, оставаясь редкой — это фамилия локальной элиты, а не широкого крестьянства. Если ваш предок носил фамилию Аргинский, его родословная, скорее всего, уходит корнями в среднерусскую полосу, а сам он был либо землевладельцем, либо человеком духовного звания.