Фамилия Арменшина хранит в себе редкую основу, которая уводит нас не в географию, а в личное имя. В первую очередь она образована от мужского имени Арменша или Арменша — это форма, производная от канонического имени Армений (в крещении — Армений). Суффикс -ш(а) в русских фамилиях — показатель ласкательной или обиходной формы: так Армений превращался в Арменшу, а затем фамилия закрепилась с типичным русским суффиксом принадлежности -ин. То есть Арменшина буквально означает «дочь (или жена) Арменши», а в основе лежит имя предка-мужчины.

Имя Армений в святцах встречается редко, но оно известно: так звали одного из 40 мучеников Севастийских, пострадавших в начале IV века. Однако в народной среде это имя могло быть не столько церковным, сколько прозвищным, связанным с этнонимом «армянский» — так могли называть человека смуглого, черноволосого или выходца с Кавказа. Но здесь важно не путать: фамилия Арменшина не обязательно указывает на армянское происхождение носителя. В русских говорах, особенно на юге и в Поволжье, слово «армен» могло стать бытовым прозвищем для любого человека с характерной внешностью или даже для торговца, приехавшего из тех краёв.

Словообразовательная модель фамилии — отчество второго порядка: от имени Арменша через суффикс -ин. Окончание -а указывает на женскую форму, но в современном русском языке это вариант фамилии для женщины, а мужская форма — Арменшин. Такая пара встречается в семьях, где фамилия не склоняется по роду в быту, но в документах закрепилась женская огласовка.

Географически фамилия Арменшина редкая. Её можно встретить в центральных областях России, а также в регионах, где исторически были смешанные русско-татарские или русско-кавказские контакты — например, в Астраханской или Саратовской губерниях. В переписных книгах XVIII–XIX веков носители фамилии не фиксировались массово, что подтверждает её локальный и, скорее всего, однодворческий или крестьянский характер.

Сравните с однокоренными фамилиями: Арменов, Арменский, Арменяев. У всех них разная суффиксация, но общий корень — либо от имени, либо от прозвища. Арменшина выделяется уменьшительно-ласкательным суффиксом -ш-, который в русских фамилиях встречается нечасто (сравните: Павша — Павшин, Яша — Яшин). Это дополнительно указывает на то, что предок носителя был человеком, которого в быту звали не полным именем, а домашним, ласковым — Арменша.

Таким образом, фамилия Арменшина — это отчество от редкого обиходного имени, которое либо восходит к христианскому имени Армений, либо к прозвищу по внешнему или этническому признаку. Никакой связи с дворянскими родами или известными историческими личностями у неё нет, но это и не нужно: ценность таких фамилий в том, что они сохранили повседневную речь и обычаи именования простых людей.