Фамилия Арзамаская — редкий случай, когда географическое происхождение зашито прямо в основе, но с неожиданным грамматическим поворотом. Это женская форма фамилии Арзамаский, и именно эта форма (с окончанием -ая, а не -ов или -ин) сразу указывает на модель образования: перед нами типичная «географическая» фамилия, которую давали по названию города или местности. Основа — «Арзамас», старинный русский город в Нижегородской области, известный с XVI века.

Фамилия Арзамаский (и её женский вариант) образована по той же модели, что и Казанский, Тверской, Рязанский: суффикс -ск- указывает на принадлежность к месту. Человек, которого прозвали Арзамаским, скорее всего, был выходцем из Арзамаса или его окрестностей. В документах XVII–XVIII веков такие прозвища часто давали переселенцам, которые переезжали в другие регионы и получали фамилию по прежнему месту жительства — это был самый простой способ идентифицировать человека в условиях, когда фамилий у крестьян ещё не было.

Интересная деталь: окончание -ая в женском роде не должно вводить в заблуждение. В русской традиции такие фамилии склоняются как прилагательные (Арзамаская, Арзамаской, Арзамаскую). В современном употреблении мужской вариант — Арзамаский — встречается реже, чем женский, что может говорить о том, что фамилия закрепилась в основном за женщинами или передавалась по женской линии. В любом случае, носительница фамилии Арзамаская может с высокой вероятностью считать своими предками жителей или уроженцев Арзамаса — города, который в XVII–XVIII веках был важным торговым и ремесленным центром, а его жители активно расходились по всей России.

Словообразовательный разбор здесь прозрачен: корень «арзамас-», суффикс «-ск-» и окончание «-ая». Споров среди ономастов по поводу этой фамилии нет — она относится к группе топонимических фамилий, и альтернативные версии (например, от личного имени или прозвища) выглядят натянутыми, поскольку город Арзамас хорошо известен и даёт естественное объяснение.