Фамилия Аржанкова — женская форма от Аржанков, и её разумнее всего начинать не с морфологии, а с корня, который сразу выдаёт занятие предка. «Аржан-» — это диалектный вариант слова «рожь», распространённый в южнорусских говорах: рязанских, тамбовских, воронежских. Там «аржаной» значило «ржаной», а «аржанец» — ржаной хлеб. Так что первый носитель прозвища Аржанок или Аржанка мог сеять рожь, торговать ею или печь из неё хлеб.

Суффикс «-к-» в основе (Аржанок → Аржанков) — уменьшительный или прозвищный. В русской антропонимии фамилии на «-ков» часто образовывались от прозвищ на «-ко» (Аржанко), типичных для юга и юго-востока Московского государства в XVI–XVII веках. Такая форма могла указывать на невысокого или крепкого человека, а могла быть просто ласковой бытовой кличкой.

Менее вероятна версия с географическим названием. В России есть топонимы вроде села Аржанка в Мордовии или хутора Аржановский в Волгоградской области. Если предки жили в таком месте, их могли записать как Аржанковы — по названию поселения. Но корень «аржан-» в говорах был настолько активным и бытовым, что прозвищное происхождение убедительнее.

Фамилия не аристократическая и не дворянская. Её, скорее всего, носили крестьяне или посадские, чья жизнь была связана с земледелием и зерном. Она редкая, но встречается в центральных областях России и среди казачества — на Дону и Кубани, где диалектные формы держались дольше. Сравните с однокоренными Ржанов, Ржаной, Аржанов: все они из одного гнезда, но Аржанков выделяется уменьшительным суффиксом, который придаёт фамилии личный, «домашний» оттенок.