Фамилия Айдашев — редкий случай, когда основа почти наверняка тюркская, а суффикс указывает на русскую модель образования. Разбираем по порядку.

Корень «Айдаш» восходит к тюркскому личному имени или прозвищу. В языках тюркской группы (татарском, башкирском, чувашском) слово «ай» означает «луна», а «даш» — «товарищ, друг». Буквально «Айдаш» можно перевести как «лунный друг» или «друг месяца». Однако более вероятно, что это имя-оберег: у тюркских народов было принято давать детям имена, связанные с небесными светилами, чтобы защитить от злых сил. Имя Айдаш фиксируется в ономастических справочниках по Казанскому ханству и более поздним метрическим книгам татарских и башкирских сел.

Русский суффикс -ев (а не -ов) появляется после мягкого согласного «ш»: Айдаш + ев. Такое окончание — стандартный способ образования русской фамилии от прозвища или имени отца, пришедший в XVI–XVII веках. Значит, предок носителя фамилии, скорее всего, был крещёным татарином, башкиром или чувашом, получившим при крещении имя Айдаш или носившим его как мирское прозвище. В русской среде это прозвище оформили по привычной модели: «чей?» — «Айдашев», то есть сын Айдаша.

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и Приуралью: современные носители чаще всего встречаются в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Самарской областях. Встречается и у русских, но в таких случаях это почти всегда результат давних межэтнических контактов — например, обрусевшие потомки служилых татар, которые в XVI–XVII веках получали поместья на юго-восточных рубежах Московского государства.

Любопытная деталь: в некоторых тюркских диалектах «айдаш» могло означать не только имя, но и прозвище «крикун» или «зазывала» (от глагола «айда» — «кричать, гнать»). Если это так, то предок мог быть не просто «сыном Айдаша», а «сыном того, кто громко командует» — например, пастуха или глашатая. Но первая версия, с именем-оберегом, считается основной — она подтверждается массовостью таких имён в тюркской ономастике.

Итог: фамилия Айдашев — типичный пример тюркско-русского пограничья. Она говорит о том, что предок нёс тюркское имя Айдаш, а его потомки уже вошли в русскую культуру, оформив фамилию по русскому образцу. Никакого отношения к слову «айда» («пойдём») фамилия не имеет — это народная этимология, не выдерживающая проверки.