Фамилия Азарченков строится по редкой трёхступенчатой модели: сначала к основе добавили суффикс -к- (уменьшительное), затем -енок (указание на сына), и лишь потом — фамильный -ов. Такая цепочка встречается реже, чем простые патронимы на -ов вроде Азарова. По сути, Азарченков — это «сын Азарчонка», то есть внук Азара.

В основе фамилии лежит крестильное имя Азарий (др.-евр. «помощь Божья»). В бытовой речи его сократили до Азар, а затем прибавили суффикс -к-: так появилось имя или прозвище Азарко — «маленький Азар» или «сын Азара». Следующий шаг — форма Азарченок, где суффикс -енок обозначал «потомка» или «внука» Азарки. И лишь затем патроним Азарченок закрепился за детьми как фамилия уже с помощью суффикса -ов.

География фамилии указывает на южнорусские и белорусские говоры (Брянщина, Смоленщина), где суффикс -енок/-онок в фамилиях — обычное дело. В документах Азарченков фиксируется с XIX века, причём в крестьянской среде. Дворянских родов с такой фамилией нет, что подтверждает её простонародное происхождение: человека называли по деду — Азарченок, а его дети становились Азарченковыми.

Иногда имя Азарий путали с созвучным словом «азарт» или «зараза» (в старом значении — «заразительный, бойкий»). Из-за этого в отдельных случаях прозвище Азар могли дать не по имени, а по характеру — человеку горячему, увлекающемуся. Однако для фамилии Азарченков версия с церковным именем надёжнее: слишком уж последовательно здесь работает словообразовательная цепочка от крестильного имени.