Фамилия Азарх — редкий пример еврейской фамилии, образованной от библейского мужского имени Азарий. В переводе с древнееврейского Азария означает «Бог помог». Это имя носил один из героев ветхозаветного предания о «трёх отроках в печи»: Азарий, Ананий и Михаил. Согласно легенде, эти юноши попали в вавилонский плен, но были отобраны для службы при дворе царя Навуходоносора. Когда царь приказал всем пасть ниц перед золотым истуканом, трое отроков отказались, за что их бросили в раскалённую печь. Однако, по преданию, они остались невредимы благодаря божественной защите.

С точки зрения словообразовательной модели, фамилия Азарх представляет собой усечённую форму имени Азарий с характерным еврейским суффиксом -х, который часто встречается в фамилиях ашкеназского происхождения (сравните: Берг — Бергман, но также формы с -х, как Лейб — Лейбх). Такой суффикс мог указывать на ласкательное или обиходное прозвище.

Существует и альтернативная, менее распространённая гипотеза, связывающая фамилию с тюркским мужским именем Азар, которое восходит к персидскому слову «огонь». Однако эта версия уступает первой по убедительности, так как фамилия Азарх фиксируется преимущественно в еврейской среде, а имя Азарий — в библейском контексте.

Фамилия встречается в разных вариациях: Азарх, Азархов, Азаркин. Наиболее известная носительница — Лана Александровна Азарх (род. 1922), российский художник-постановщик анимационного кино, работавшая над такими картинами, как «Снежная королева» и «Волшебное кольцо».