Фамилия Азархина — женская форма фамилии Азархин, которая в свою очередь образована от редкого и неочевидного корня. В отличие от большинства русских фамилий на -ин, указывающих на принадлежность «сын такого-то», Азархин не связан с крестильным именем вроде Азарий или мирским прозвищем, произведённым от слова «азарт». Основа здесь — Азарх, и искать её нужно в еврейской ономастике.

Скорее всего, фамилия восходит к мужскому личному имени Азарх — варианту библейского имени Эльазар (в русской традиции Елеазар, что значит «Бог помог»). В среде еврейских общин Восточной Европы имя бытовало в сокращённой форме Азарх, от которой по модели на -ин (как Берман — Берманов, Гирш — Гиршев) и образовали фамилию. Суффикс -ин в данном случае — не обязательно русский патроним; в польской и украинской среде его могли прибавлять к еврейским основам, создавая фамилии, которые на слух звучат по-славянски.

Вторая версия, менее вероятная, — от тюркского слова «азар» (редкий, немногочисленный) с добавлением -х- как усилителя. Но эта гипотеза не подкреплена ни географией фамилии, ни частотностью: Азархины встречаются в основном в регионах бывшей черты оседлости (Беларусь, Украина, западные губернии России), что указывает на ашкеназское происхождение.

Написание фамилии через «х» — не ошибка, а фонетическая особенность: в именах типа Азарх, Лейбх, Зельх конечное «х» передаёт гортанный звук, который в идише или иврите не совпадает с русским «к». В метрических книгах XIX века можно встретить варианты Азаркин, Азархов, но Азархин закрепился как основной.

Таким образом, фамилия Азархина — не про азарт и не про ремесло. Её носительницы — потомки людей, носивших имя, которое напоминало о божественной помощи. Никакой тайны, просто точная запись того, как в XIX веке превратили личное имя в фамилию, приспособив к русской грамматике.