Фамилия Азархи бросается в глаза необычным окончанием. В русском языке фамилии на -их и -ых (Седых, Бродских, Гладких) встречаются, но на -хи — редкость. Это сразу подсказывает, что перед нами не исконно русская фамилия, а скорее всего, адаптированная. Скорее всего, Азархи — это фамилия еврейского происхождения, и её форма — результат русификации.

Исходное звучание, вероятно, было другим. В основе лежит библейское имя Азарья (или Азария), что в переводе с древнееврейского означает «помощь Бога» или «Бог помог». В русской традиции это имя известно по библейскому персонажу Азарии — одному из трёх отроков в печи огненной. Фамилии, образованные от этого имени, в еврейской среде часто звучали как Азарьян, Азаров или Азархин. Форма Азархи могла возникнуть при записи фамилии в документах: окончание -хи передаёт характерное для идиша или иврита окончание -хий или -хи, которое затем закрепилось в паспорте.

Модель образования здесь проста: основа (корень имени Азар-) плюс суффикс -х- (уменьшительный или патронимический, как в именах Моня → Монях, Берка → Берхи) и окончание -и, которое в русском языке воспринимается как окончание множественного числа по типу «дворянских» фамилий (Бобринские, Трубецкие), но в данном случае это просто фиксация исходной формы. Встречаются варианты написания: Азархий, Азархин, но Азархи — самый лаконичный.

Ареал бытования фамилии — преимущественно западные регионы Российской империи (Беларусь, Украина, Молдавия) и черта оседлости. Предки носителей фамилии Азархи, скорее всего, были людьми незнатными — ремесленниками, торговцами, меламедами (учителями в хедере). Фамилия не указывает на ремесло или место, а прямо говорит об имени основателя рода: его звали Азар, и его дети стали Азархами. В современной России фамилия редкая, но не исчезнувшая — её можно встретить в Москве, Санкт-Петербурге и крупных городах, куда мигрировали носители в XX веке.