Фамилия Азарской — одна из тех, где форма на -ской сразу выдаёт географическое или сословное происхождение. В отличие от массовых фамилий на -ов/-ев, которые чаще всего образовывались от имени или прозвища отца, модель на -ской типична для польской шляхты, украинской старшины и русских дворянских родов, а также для тех, кто получил фамилию по названию места жительства. В данном случае перед нами женская форма фамилии Азарский. В русской традиции фамилии на -ской склоняются по падежам, и форма «Азарской» указывает на женщину (родительный, дательный, творительный, предложный падежи), тогда как мужская будет «Азарский», а в именительном падеже для женщины — «Азарская».

Основа фамилии — «Азар» — многозначна. Самая вероятная версия: это прозвище или имя, связанное с азартом — страстью, горячностью, увлечённостью. В старину «азарт» имело более резкий оттенок: так называли человека запальчивого, склонного к риску, возможно, игрока или задиру. Однако корень может быть и топонимическим — от названия населённого пункта, например, Азарово или Азарки, которые встречаются в России и Украине. В таком случае Азарский — это «тот, кто родом из Азаров/Азарок». В польском языке есть фамилия Azarski, образованная от названия местности Azary, что подтверждает эту модель.

Менее распространённая, но возможная версия — связь с библейским именем Азария (евр. «помощь Бога»). В русском языке это имя давало фамилии Азаров, Азарьев, а форма Азарский могла возникнуть как полонизированный вариант. Такую фамилию могли получить выходцы из духовного сословия или крещёные евреи, но это лишь гипотеза без массовых подтверждений.

Географически фамилия Азарский/Азарская встречается редко, что говорит о её локальном происхождении. Основные очаги — западные регионы России (Смоленская, Брянская области) и восток Украины, где сильны польские и малороссийские традиции фамилеобразования. Носительницы фамилии Азарской, скорее всего, происходят из семей, чьи предки либо владели землёй (шляхта), либо жили в конкретном селе, от которого и взяли название. Словообразовательная модель не оставляет сомнений: суффикс -ск- указывает на принадлежность к месту или роду, а не на прямое отчество.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями — Азаров, Азаркин, Азарёнок, — то Азарской стоит особняком: она тяготеет к дворянскому или казацкому кругу, в то время как Азаров — типичная «мужицкая» фамилия от прозвища. Так что за фамилией Азарской может стоять не просто страстный предок, а целая история с географической привязкой и социальным статусом.