Фамилия Баборыкин образована от мирского имени или прозвища Баборыка. В основе — слово «бабарыка», которым в старину называли небольшую рыбку с большой головой. Такие «рыбные» имена были частью древней русской традиции: давая ребёнку имя по названию животного или рыбы, родители надеялись, что природа примет его как своего и передаст ему нужные качества — в данном случае, возможно, живучесть или проворство.

Однако не всё так однозначно. Прозвище Баборыка могли дать и человеку с крупной головой — по аналогии с той же рыбой. Либо заядлому рыболову. В костромских говорах у слова «бабарыка» было и другое значение — «неопрятный, неряшливый человек». Так что прозвище могло указывать на особенности характера или внешности, а не на мирское имя.

Стоит учесть и дворянский контекст. В истории известен древний род Бабарыкиных (встречается также написание Бобарыкины). Он ведёт начало от Андрея Ивановича Кобылы, родоначальника многих знатных фамилий. Его правнук Фёдор Андреевич первым стал прозываться Боборык. Род записан в VI часть родословных книг Костромской, Калужской, Московской, Тамбовской и Тульской губерний. Фамилия Баборыкин, вероятно, восходит к той же основе, но с другим суффиксом — это мог быть более поздний вариант или ответвление от основного рода, либо фамилия, возникшая независимо в крестьянской или мещанской среде.

Таким образом, у фамилии Баборыкин сразу несколько возможных корней: от рыбного прозвища, от внешности, от характера или от древнего дворянского рода. Какой из них верен для конкретной семьи — сказать без генеалогического исследования трудно, но каждое из этих объяснений открывает свою историю.