Фамилия Балейкин — один из тех случаев, когда на слух угадывается что-то простое и знакомое, а при разборе начинаются вопросы. Самая вероятная версия: в основе лежит прозвище Балейка. Суффикс -к- в русских прозвищах часто служил уменьшительным или обиходным показателем, а окончание -ин указывает на принадлежность: «чей?» — сын Балейки. Значит, Балейкин — потомок человека, которого в быту называли Балейкой.

Корень здесь — балей-, и он заставляет задуматься. Прямой и очевидный вариант — связь с глаголом «балить» или «балять», что в русских говорах означало «шутить, балагурить, проказничать». В словаре Даля есть слово «балясник» — шутник, забавник, и «балясы» — пустые разговоры. Тогда Балейка — это балагур, весельчак, возможно, тот, кто любил рассказывать небылицы. Такое прозвище давали человеку с живым языком, не злому, но болтливому.

Менее распространённая, но вполне реальная версия — от тюркского имени или прозвища. В тюркских языках «бала» означает «ребёнок, дитя», а «балык» — «рыба». Однако маловероятно, что фамилия образована напрямую от «балык» с добавлением русского суффикса -ей-: это дало бы скорее Балыкин. Скорее, если и есть тюркский след, то через личное имя типа Балай или Балей — уменьшительное от Бала (малыш, младший сын). Но в таком случае фамилия звучала бы как Балайкин, а не Балейкин. Разница в гласной -е- принципиальна: она указывает именно на русскую говоровую основу.

Географически фамилия Балейкин встречается нечасто, но прослеживается в центральных и южнорусских областях, особенно в бывшей Рязанской и Тамбовской губерниях. Там слово «баля» или «балей» в диалектах как раз означало «шутник» или «пустомеля». Это косвенно подтверждает первую, «балагурную» версию.

С точки зрения словообразования фамилия довольно архаична. Суффикс -ей- в прозвищах — не самая частая модель (сравните: Андрейка, Матвейка, но там это от полных имён). Здесь же мы видим образование от глагольной основы, что реже. Фамилия стоит в одном ряду с такими же «говорящими» прозвищами, как Балясников, Балагуров, Шутов — только Балейкин звучит более по-домашнему, по-деревенски.

Итак, с высокой долей уверенности: Балейкин — потомок весёлого, разговорчивого человека, балагура. Фамилия не дворянская, не книжная, а народная, прозвищная. Никаких известных исторических деятелей с такой фамилией не зафиксировано, что только подтверждает её чисто крестьянское, бытовое происхождение.