Фамилия Банаковская — женская форма, образованная от мужской Банаковский. Эта модель типична для польской, украинской и белорусской ономастики: суффикс -ский/-цкий указывает на дворянское или шляхетское происхождение либо на связь с географическим названием. В данном случае основа «Банак» или «Банаков» могла быть прозвищем или именем владельца поместья, от которого произошло название населённого пункта, а затем и фамилия его жителей или потомков.

Корень «банак» в польском языке означает «банка» или «сосуд», но в диалектах могло быть и прозвище — человека плотного, «круглого», или того, кто делал или продавал банки. В украинских говорах «банак» — это глиняный горшок, кувшин. Таким образом, предок мог быть гончаром, торговцем посудой или просто получить прозвище за внешнее сходство с предметом. Вторая версия — от имени Банько (уменьшительное от Богдан, Бенедикт), а суффикс -ов-/-ев- дал отчество, которое затем оформилось в фамилию на -ский.

Географически фамилия Банаковский встречается в основном в западных регионах Украины (Волынь, Львовщина) и в Польше (Подляшье, Люблинщина). Это указывает на возможное происхождение от названия села, например Банаки или Банаково. В дореволюционных документах такие фамилии часто фиксировались у мещан и однодворцев, но могли принадлежать и обедневшей шляхте, которая сохраняла фамильный суффикс -ский как маркер статуса.

Написание через «о» (Банаковская) — результат русификации или украинской адаптации польской формы Banakowski. В польском оригинале фамилия звучала бы как Банаковска, но в русской традиции добавилось окончание -ая, типичное для прилагательных. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите их в метрических книгах Волынской, Подольской или Гродненской губерний — там вероятность найти корни выше всего.