Фамилия Баннаев — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Главная трудность в том, что основа «банна» не является ни распространённым славянским именем, ни очевидным прозвищем. Поэтому разбирать её стоит через иноязычные корни, и здесь напрашивается тюркская версия.

Скорее всего, в основе лежит тюркское мужское имя Баннай или Банна. В ряде тюркских языков, особенно у народов Поволжья и Урала (татары, башкиры), имя Баннай могло быть вариантом имени Бану, что значит «богатый», «обильный», или же восходить к арабскому «банна» — «строитель», «зодчий». Впрочем, последнее менее вероятно для простонародных фамилий. Суффикс -ев указывает на типичную русскую модель образования от иноязычной основы: Баннай → Баннаев, то есть «сын Банная». Фамилия могла появиться при крещении или при записи в метрические книги, когда священник или писарь русифицировал тюркское имя, добавив русский патронимический суффикс.

Географически фамилия Баннаев привязана к регионам с сильным тюркским влиянием: это Татарстан, Башкортостан, Оренбургская область, а также, возможно, северный Кавказ (например, у кумыков или ногайцев, где имя Баннай встречается). В русских центральных губерниях она практически не фиксируется. Если ваш предок — Баннаев, он почти наверняка происходил из крещёных татар, башкир или из тюркской среды, перешедшей в православие.

Есть и более экзотическая версия, которую не стоит отметать: фамилия могла возникнуть от прозвища Банна, данного человеку, занимавшемуся строительством бань (от слова «баня»). Но слово «баня» в русском языке даёт основу «банн-», а суффикс -аев тут нехарактерен. Обычно от «баня» образуются фамилии Банников, Банщиков, Банный. Баннаев же — скорее всего, адаптация иноязычного имени.

Подводя итог: перед нами фамилия тюркского происхождения, образованная от личного имени Баннай по русской модели с суффиксом -ев. Предки носителя этой фамилии, вероятно, были татарами, башкирами или представителями другого тюркского народа, и их имя в переводе могло означать «богатый» или «строитель». Точное значение зависит от конкретного языка и диалекта, но общий вектор — восточный, а не славянский.