Фамилия Барабошкины — редкий случай, когда у одной основы есть как минимум два совершенно разных объяснения, и оба имеют право на существование. Вам не придётся выбирать что-то одно: скорее всего, разные ветви рода получили свою фамилию от разных прозвищ.

Первый и самый очевидный пласт — глагол «барабошить». В рязанских и тамбовских говорах он означал «тревожить, ерошить, пугать и возмущать», в вологодских — «скрести, царапать, перебирать пальцами», в новгородских — «невнятно говорить, бормотать», а в псковских — «говорить пустяки». Человека, который суетился, всё трогал, был суматошным или излишне разговорчивым, в народе и прозывали Барабошкой. Это живое, меткое прозвище легко закреплялось за носителем и затем переходило в фамилию.

Вторая версия связана с диалектным названием картофеля. В некоторых говорах украинского и русского языков барабошкой называли именно картошку. Здесь возможны два варианта: либо предок занимался выращиванием картофеля, и прозвище указывало на его ремесло, либо прозвище дали по внешнему сходству — например, за тучность или округлые черты лица. В старину такие «растительные» прозвища были распространены: давая ребёнку мирское имя Барабошка, родители как бы поручали его покровительству природы, надеясь, что к нему перейдут полезные качества этого растения.

Фамилия образована по стандартной русской модели: к основе Барабошк- добавили суффикс принадлежности -ин, а затем окончание множественного числа -ы. Форма Барабошкины (а не Барабошкин) указывает на то, что речь идёт о целом роде или семье: «чьи будете?» — «Барабошкины». Такая форма чаще встречалась в центральных и северных губерниях, особенно в среде крестьянства.

Среди документальных подтверждений — записи Книги памяти Ярославской области: Барабошкин Дмитрий Степанович, 1880 года рождения, из деревни Поточелово Тутаевского района. И Барабошкин Яков Емельянович, 1898 года рождения, из города Спас-Клепики Рязанской области. Оба примера — из регионов, где диалектный глагол «барабошить» был в ходу, что делает первую версию (суетливый, беспокойный человек) для этих веток более вероятной.

Из известных носителей — Алексей Николаевич Барабошкин (1925–1995), электрохимик, академик АН СССР, доктор технических наук. Его фамилия — пример того, как прозвище, родившееся в народной среде, дошло до высот большой науки.