Фамилия Барзыгин образована по стандартной для русских фамилий модели с суффиксом -ин, который указывает на принадлежность: «чей?» — сын Барзыги. В основе фамилии лежит прозвище или нецерковное имя Барзыга. Такие именования, образованные по той же модели, что и фамилия Барзыгин, широко представлены в ономастике восточных, западных и южных славян. Славянские фамилии возникали от личного прозвища или от имени (христианского или языческого).

Корень «барз-» в славянских языках означает «быстрый, скорый, проворный». В древнерусском языке слово «борзый» (от общеславянского *bъrzъ) как раз и значило «резвый, быстрый». Соответственно, Барзыгой могли прозвать человека с живым, стремительным характером или того, кто всё делал быстро — бегал, работал, принимал решения.

Обратите внимание на огласовку корня: Барзыгин, а не Борзыгин. Это не ошибка, а отражение севернорусского или сибирского говора, где в безударной позиции «о» переходило в «а» (аканье) и закреплялось на письме. Поэтому географически фамилия Барзыгин чаще встречается в северных и центральных регионах России, а также в Поволжье, где такие фонетические особенности были нормой.

Суффикс -ыг- в основе Барзыг- — редкий словообразовательный элемент, характерный для прозвищ, выражающих яркую черту (сравните: Злыга от «злой», Ковыга от «ковылять»). Это дополнительно подчёркивает, что прозвище Барзыга было не простым описанием, а ёмкой характеристикой человека, возможно, даже с оттенком насмешки или уважения к его расторопности.

Таким образом, предок носителя фамилии Барзыгин получил прозвище за скорость и живость, а сама фамилия закрепилась в тех краях, где говорили «барзой» вместо «борзой».