Фамилия Баянова — женская форма, а её основа — мужская фамилия Баянов. У этой фамилии две основные версии происхождения, и первая из них самая надёжная.

Самая вероятная основа — мусульманское мужское имя Баян. В древнемонгольском и древнетюркском языках слово «bajan» означало «богатый», «сильный» или «счастливый». Такое имя было распространено у народов, исповедующих ислам, и в тюркской среде. Фамилию образовали по русской модели с суффиксом -ов, который указывает на принадлежность: Баянов — буквально «сын Баяна» или «из рода Баяна». Есть и арабский вариант: имя Баян переводится как «ясный», что тоже могло стать основой для прозвища или имени.

Менее вероятная, но более известная в русской культуре версия связывает фамилию с именем Боян. Это имя носил знаменитый песнотворец XI — начала XII века, который слагал песни славы в честь подвигов русских князей. Впервые Боян упомянут в «Слове о полку Игореве», где назван «соловьем старого времени» и «вещим» певцом. В «Задонщине» (начало XV века) его называют «в Киеве гораздым гудцом», а о покупке «Бояновой земли» сообщает надпись XII века, обнаруженная в Софии Киевской. Имя Боян со временем стало нарицательным для обозначения поэта. Однако здесь есть языковая тонкость: в древнерусском имени Боян корень другой, и переход «о» в «а» в фамилии Баянов не типичен для исконно русских фамилий. Скорее всего, если фамилия и восходит к Бояну, то через искажение или под влиянием тюркского произношения.

Суффикс -ов указывает на то, что фамилия сформировалась в среде, где преобладала русская патронимическая модель (преимущественно на территории Российского государства), но основа имени выдаёт восточное, тюркское или арабское происхождение. Это типичная ситуация для Поволжья, Урала и Сибири, где русские фамилии нередко образовывались от имён соседних народов.

Процесс формирования фамилий был длительным, поэтому окончательно говорить о точном месте и времени возникновения рода Баяновых можно лишь на основании генеалогических исследований. Но если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, в их родословной был человек по имени Баян — богатый, счастливый или ясный.