Фамилия Беднарский — из числа тех, что указывают на профессию предка, но с географической привязкой. Исходное слово — польское «bednarz», то есть бондарь, мастер по изготовлению бочек. Такие ремёсла дали множество фамилий, но у Беднарского есть особенность: модель образования на -ский типична для польской шляхты или людей, связанных с конкретным местом. В данном случае фамилия восходит к топониму Беднарске — сельскому округу (сейчас это часть гмины Липинки в Горлицком повяте Малопольского воеводства). Название села, в свою очередь, произошло от того же «bednarz»: либо там жили бондари, либо поселение основал человек с таким прозвищем.

Так что предки Беднарских могли быть либо ремесленниками-бондарями, либо выходцами из деревни Беднарске. Суффикс -ский в польской ономастике обычно прикрепляли к названиям имений или местечек, подчёркивая принадлежность: «из Беднарске». Сравните с однокоренными русскими фамилиями — Бондарев, Бочаров, — где суффикс -ев прямо указывает на сына бондаря. Беднарский же звучит скорее по-шляхетски, хотя носителями могли быть и крестьяне, переселившиеся из того села.

В польских источниках фамилия встречается с XVI века, особенно на юго-востоке страны. В России и Украине она распространилась через переселения и миграции, но сохранила польскую огласовку. Если ваш предок носил фамилию Беднарский, скорее всего, его корни — в Малой Польше, среди бондарей или жителей одноимённого сельского округа.