Фамилия Бекряшова — женская форма, а мужская, Бекряшов, образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от прозвища или имени с помощью суффикса -ов. Этот суффикс указывает на принадлежность («чей?»), то есть Бекряшов — буквально «сын Бекряша» или «потомок Бекряша». Сама основа фамилии — прозвище Бекряш.

Что могло означать это прозвище? Самый прямой путь ведёт к диалектному слову «бекряш» или «бекряс». В ряде русских говоров, особенно на севере и Урале, так называли неповоротливого, неуклюжего человека, увальня. В словаре Владимира Даля «бекряс» — «упрямец, своенравный, кто всё делает набекрень». Связь с наречием «набекрень» (сдвинуто набок, небрежно) здесь очевидна: прозвище могло отражать и манеру носить шапку, и общий характер человека — не такого, как все, со своим норовом.

Есть и вторая, менее очевидная версия. В тюркских языках (татарском, башкирском) существует имя Бакряш или Бекряш, образованное от корня «бек» (крепкий, твёрдый, господин). Русские фамилии с таким корнем не редкость в Поволжье и Приуралье, где веками жили рядом славяне и тюрки. Прозвище Бекряш могло быть адаптированным татарским именем, которое потом закрепилось как русская фамилия.

Какая версия правдоподобнее? Обе имеют право на существование. Но диалектная основа «бекряш» («упрямец») встречается в документах XVI–XVII веков — например, в актах Соликамского уезда упоминается крестьянин Бекряс. Тюркская версия возможна, но менее подтверждена для именно этой формы. Скорее всего, фамилия Бекряшов — русская по способу образования, но её корень мог быть как исконно славянским (прозвищным), так и заимствованным из соседних языков.

Географически фамилия редкая и встречается преимущественно в Вологодской, Кировской областях и в Пермском крае. Это как раз зона активного бытования северных и уральских говоров, где слово «бекряш» было в ходу. Так что для носителя фамилии Бекряшова наиболее вероятный сценарий: предок жил на Русском Севере или Урале, получил прозвище за свой нрав или внешность, и это прозвище стало родовым именем.