Фамилия Бельчихина — женская форма, исходная мужская — Бельчихин. Она принадлежит к архаичному и редкому типу русских фамилий с суффиксом -их-. В отличие от массовых фамилий на -ов/-ев или -ин, которые образуются от имени или профессии отца, «-их» и «-ых» — это суффикс родительного падежа множественного числа. Такие фамилии возникли в северных и северо-восточных землях России (Вятка, Архангельская губерния, Урал) и буквально означали: «из семьи Бельчихиных», «чьи будете?» — «Бельчихины».

Основа фамилии — прозвище Бельчиха. Скорее всего, так называли женщину, жену или вдову человека по прозвищу Бельчи́к или Бе́льчик. Само прозвище ведёт свою историю от слова «белка» (в старых говорах — «бе́ль», «бе́лька»). Прозвище Бельчик могли дать либо человеку, промышлявшему охотой на белок, либо тому, кто торговал беличьими шкурками, либо — по внешнему сходству: быстрому, юркому, с «беличьими» зубами или светлыми волосами. В русских говорах слово «бельчиха» фиксируется как самка белки, но в качестве прозвища оно могло относиться и к женщине.

Мужская форма Бельчихин — это притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос «чей?»: сын Бельчихи, то есть «Бельчихин сын». Со временем патроним застыл в родовой фамилии. Поскольку суффикс -их- был типичен для крестьянского и мещанского сословия Северной Руси, можно уверенно предполагать, что предки носителей фамилии были вольными или государственными крестьянами, жившими на севере Европейской России.

Встречается и вариант Бельчиков («сын Бельчика»), но Бельчихин — более редкий и диалектный. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, его семья происходила из Вятской, Пермской или Архангельской губернии. В метрических книгах XIX века Бельчихины встречаются, например, в Слободском уезде Вятской губернии — регионе, где фамилии на -их и -ых сохранялись дольше всего.