Фамилия Бердышков — редкая, и её основа неочевидна на первый взгляд. Ключ к разгадке — в слове «бердыш». Так на Руси называли холодное оружие: широкий топор с лезвием в виде полумесяца, насаженный на длинное древко. Бердышом в XVI–XVII веках вооружали стрельцов и городскую стражу. Человек, носивший такое оружие постоянно или изготовлявший его, мог получить прозвище Бердыш. От него и пошла фамилия — с помощью стандартного патронимического суффикса -ов, который в русских фамилиях отвечал на вопрос «чей?» (Бердышов, то есть сын Бердыша). Вариант Бердышков отличается только суффиксом -к-, который мог означать либо уменьшительную форму (Бердышок — молодой или невысокий носитель прозвища), либо принадлежность к определённой местной традиции словообразования.

Вторая, менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркским именем Бердыш. В тюркских языках корень «бер» означает «дай», а имя Бердыш могло быть пожелательным (что-то вроде «дарованный»). В пользу этой гипотезы говорит то, что фамилии на -ов от тюркских имён на Руси не редкость. Однако оружие бердыш было широко известно и в русской, и в татарской среде, поэтому разделить эти два источника бывает сложно. Словарь русских фамилий Б. Унбегана прямо указывает на прозвище Бердыш как на основу для фамилий Бердышев, Бердышов и Бердышков.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южным областям России, но встречается рассеянно, без ярко выраженного гнезда. Сословно предки Бердышковых могли быть как служилыми людьми (стрельцами), так и ремесленниками-оружейниками. Суффикс -ков (вместо более частого -ев) — ещё одна деталь: он характерен для фамилий, образованных от основ на -к или -ок, что подтверждает версию с уменьшительным прозвищем Бердышок. Таким образом, фамилия Бердышков — не про «берёзу» и не про «бередить», а про военную историю и вполне конкретный предмет, который её первый носитель либо носил, либо делал.