Фамилия Берегулька — редкая, и это сразу подсказывает путь её разбора. В русских фамилиях суффикс -к(а) почти всегда указывает на украинское или белорусское происхождение. В великорусской традиции прозвища на -ка (Берегулька, Заика, Криворучка) могли стать фамилиями без дополнительного оформления, но в украинской среде это была стандартная модель: прозвище становилось фамилией напрямую, без добавления -ов или -ин. Поэтому Берегулька — это, скорее всего, бывшее прозвище, которое закрепилось за родом.

Основа — глагол «берегти» (украинское «беречь», «охранять») или существительное «берег» (край воды). Но прозвища от «берега» обычно давали живущим у реки: Береговой, Бережок. Форма «Берегулька» звучит иначе. В ней слышится действие — «берегущий» или «тот, кто бережёт». Суффикс -уль- в украинских и белорусских прозвищах придаёт ласкательный или уменьшительный оттенок (сравните: бабуля, мамуля, а также прозвища типа Гуля, Маруля). То есть Берегулька мог быть «маленьким берегуном» — так в семье или общине могли назвать ребёнка, который присматривал за младшими, за скотиной или за имуществом.

Вторая версия, менее вероятная, но не исключённая: прозвище могли дать человеку, который жил на берегу, но не просто, а на маленьком, уютном бережку — отсюда и уменьшительная форма. Однако для топографических прозвищ типичнее суффикс -ок (Бережок), а не -улька. Поэтому версия с «берегуном» убедительнее.

В документах фамилия почти не встречается. Это значит, что носители могли быть крестьянами или казаками из центральной Украины или юго-западных губерний Российской империи (Киевская, Подольская, Волынская губернии). Там прозвища на -ка были обычным делом, а фамилии часто не проходили канцелярскую унификацию, оставаясь в той форме, в какой их записал писарь со слов крестьянина.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Берегулька стоит в одном ряду с Бережным, Бережко, Берегуленко. Последняя — типично украинская фамилия с патронимическим суффиксом -енко («сын Берегула»). Берегулька же — не патроним, а прямое прозвище, что делает её более древней по модели образования.

Итак: ваш предок, скорее всего, был украинцем или белорусом, которого в округе знали как Берегульку — либо за привычку всё охранять и никому ничего не давать в обиду, либо за то, что в детстве его дразнили маленьким сторожем. Фамилия не дворянская и не книжная — она вышла из живой народной речи.