Фамилия Березнеева — женская форма, а её мужской вариант — Березнеев. В основе лежит географическое название или прозвище. Сразу бросается в глаза корень «берез-», отсылающий к дереву берёзе. Но окончание «-еев» указывает на редкую словообразовательную модель. Чаще мы встречаем фамилии на «-ов» (Берёзов) или «-ин» (Берёзкин). Суффикс «-еев» здесь — результат фонетического изменения: исходная форма, скорее всего, звучала как Березнев или Березнёв, а со временем под влиянием говоров «нёв» перешло в «неев». Такое встречается в южнорусских и среднерусских говорах, где безударные гласные редуцируются, а твёрдый «н» смягчается.

Правдоподобнее всего, что фамилия образована от названия населённого пункта — Березнево или Березнёво. Таких деревень и сёл в России множество, особенно в центральных областях: от Ярославской до Воронежской. Житель такого села получал прозвище Березнев, то есть «из Березнева». Позже это прозвище закрепилось как фамилия. Вторая, менее вероятная версия — от прозвища Березняк (человек, живущий в березняке или торгующий берёзой), но тогда ожидалась бы форма Березняков или Березников. Суффикс «-еев» упорно указывает на топонимическое происхождение.

Сословная принадлежность предков Березнеевых могла быть разной. В документах XVIII–XIX веков встречаются и крестьяне, и мещане, и однодворцы с такой фамилией. Однодворцы — особая категория служилых людей на южных рубежах, которые часто носили фамилии, образованные от названий мест службы или жительства. Если ваши предки были из Тульской, Рязанской или Орловской губернии, велика вероятность, что они относились именно к однодворцам.

Фамилия не слишком распространённая, но и не редкая. Встречается в центральной России и в Поволжье. В написании возможны варианты: Березнеев и Берёзнеев — разница только в ударении и букве «ё», которая в документах часто опускалась.