Фамилия Березнер — еврейская, и её происхождение напрямую связано с тем, где жили предки первых носителей. В основе фамилии лежит топоним — название места. Скорее всего, это город Берёза в Брестской области Белоруссии или посёлок Березна в Черниговской области Украины. Оба названия восходят к дереву «берёза».

Город Берёза имеет давнюю историю. Первое упоминание о селе Береза относится к 1477 году, когда его владелец Ян Гамшей основал здесь костёл Святой Троицы. К концу XV века село стало торговым городом, получив хартию и право на ярмарку. В 1617 году Берёза перешла к канцлеру Великого княжества Литовского Льву Сапеге, который построил новый католический костёл. Из архивов известно, что к тому времени в городе уже существовала еврейская община. Сапега разрешил местным евреям открыть школу и молельный дом. После третьего раздела Речи Посполитой город вместе с монастырём отошёл к Российской империи. Вполне вероятно, что основатель рода Березнер родился и жил именно в Берёзе.

Фамилия образована по типичной для еврейских фамилий модели: к названию города или местности добавили суффикс «-ер», который в идише и немецком языке указывает на жителя. То есть Березнер — это «тот, кто из Берёзы» или «березинский». Такая словообразовательная модель встречается у многих еврейских фамилий, например, Ливер (из Ливерпуля), Варшавер (из Варшавы), Одессер (из Одессы).

Существует и другая, менее распространённая гипотеза. Согласно ей, фамилия ведёт начало от древнееврейского слова «берез», что переводится как «источник». В таком случае прозвище Березнер мог получить человек, живший рядом с источником. Однако эта версия уступает первой по правдоподобию: топонимические фамилии у евреев Восточной Европы были гораздо более массовыми, чем прозвища по ландшафту. К тому же, в качестве примера приводят совсем другие модели: только у евреев можно было встретить такие фамилии, как Вейценбаум («пшеничное дерево»), Зауэрштром («кислый поток»), Левенфиш («рыба-лев»), Цигенбаум («козье дерево») или Квечман («высказываться неохотно»). Эти фамилии образованы от немецких слов и относятся к искусственным, «декоративным» или описательным, а не к топонимическим.

Таким образом, наиболее вероятное объяснение фамилии Березнер — географическое. Предки носителя этой фамилии, скорее всего, происходили из белорусского города Берёза или украинского посёлка Березна. Суффикс «-ер» прямо указывает на их связь с этим местом.