Фамилия Березние — редкий вариант написания, который, скорее всего, является диалектной или исторической формой более известной фамилии Березной. В основе обеих фамилий лежит мирское имя или прозвище Березной. Главная загадка здесь — в значении этого имени, и у исследователей есть как минимум два объяснения.

Первая и наиболее вероятная версия связывает имя Березной с украинским прилагательным «березневий», то есть «мартовский». Так могли назвать ребёнка, родившегося в марте. В древнерусском календаре март долгое время считался первым месяцем года, и его название пришло из Византии, вытеснив славянское «березозол». Народные поговорки подчёркивают двойственность марта: «Раненько март веснянку затягивает» (о ненадёжном тепле) и «Март похоронит, август схоронит» (о хлебе, который сначала сеют, а потом убирают в закрома). Такая модель образования фамилии от названия месяца встречается у славян, хоть и не так часто, как от имени или профессии.

Вторая версия отталкивается от созвучия со словом «береза» и, что более убедительно, с географическим названием. В Черниговской области Украины есть посёлок Березна (в старину — Березой), впервые упомянутый в летописи под 1152 годом. Название речушки Березнянка и сами поселения явно произошли от березовых рощ. Посёлок пережил татаро-монгольское нашествие, был под властью польских магнатов Потоцких, а в 1648 году стал центром казацкой сотни. Человек, переехавший оттуда, мог получить прозвище Березной — «тот, кто из Березна». Эта версия объясняет и форму фамилии: суффикс -ой в данном случае типичен для прозвищ по месту жительства.

Форма Березние, которую вы ищете, отличается окончанием. В русских фамилиях окончание -ие (-ые) чаще встречается на севере и в Сибири, где было принято говорить «Березние» вместо «Березные». Это не ошибка, а диалектная особенность, закрепившаяся в документах. Таким образом, ваша фамилия — яркий пример того, как местный говор и история одного украинского местечка могли повлиять на фамилию, которая сейчас звучит необычно.