Бескишкова — фамилия редкая, и её разговорная форма выдаёт один из самых необычных способов, каким в русской традиции могли «переделать» фамилию. Скорее всего, перед нами не исходный вариант, а «опрощенная» или народная версия более сложной фамилии. Чтобы понять это, достаточно посмотреть на суффикс: -ов- в окончании (Бескишков) мог появиться от притяжательной формы, но основа «Бескишк-» в русском языке ничего не означает. Зато если убрать первую букву «с» и представить, что раньше фамилия звучала как Безкишков или Безкишкова, всё становится прозрачнее: «без кишок». Это типичное прозвище, каких в старину было много — по внешнему виду, характеру или даже шутливому отношению. Так могли назвать очень худого, тощего человека («кишки не видно»), либо, в переносном смысле, человека «без нутра» — бесхарактерного или неспособного к чему-либо.

Версия с отпадением начального «з» (Без- → Бес-) — явление, хорошо известное диалектной и простонародной речи: звук [з] перед глухим [к] оглушался, а потом мог и вовсе исчезнуть при быстром произношении. В документах XVIII–XIX веков нередки случаи, когда одну и ту же семью писали то как Безкишковы, то как Бескишковы. Модель образования — типичная для русских фамилий от прозвищ: основа + суффикс -ов/-ев (для мужчин) или -ова (для женщин). Поскольку фамилия женского рода в вопросе — Бескишкова, её носительница, скорее всего, потомок человека по прозвищу Безкишка или Бескишка.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным регионам России, где диалектное «аканье» и упрощение групп согласных особенно характерны. Встречается в основном в Вологодской, Архангельской и Костромской областях, реже — на Урале. Социальный состав носителей в XIX веке — преимущественно крестьяне и мещане, что подтверждает народное происхождение прозвища. В дворянских родословных книгах фамилия не зафиксирована, что тоже косвенно говорит в пользу «прозвищной» версии.

Вторая, менее вероятная гипотеза: фамилия могла возникнуть от географического названия — например, от деревни Бескиши или Бескишково (такие встречаются в тверских и псковских говорах, но редки). Однако в этом случае ожидалась бы форма Бескишский/Бескишская, а не на -ов. Поэтому основной остаётся версия о прозвище, которое со временем потеряло предлог «без» в своей начальной части.