Фамилия Беспаленко звучит так, будто предка звали за то, что он не палил, не жег или не имел к огню никакого отношения. Но это не совсем так. Самая вероятная версия — украинское происхождение, и корень здесь не «палить» в смысле жечь, а «пал» — то есть пень, колода. В украинских говорах «пал» или «палка» могло быть прозвищем человека коренастого, крепкого, либо, наоборот, неповоротливого, как пень. Приставка «бес-» (в украинском часто «без-») указывает на отсутствие: Беспаленко — «сын того, кто без пала», то есть без пня, без колоды. Прозвище Безпалый (или Беспалый) давали человеку без пальцев, но здесь основа другая — именно «пал», а не «палец».

Суффикс -енко — типичный для украинских фамилий, означающий «сын» или «потомок». Такие фамилии массово формировались в XVII–XVIII веках на Левобережной и Слободской Украине, особенно среди казачества и крестьян. Беспаленко — это не прозвище самого человека, а фамилия, закрепившаяся за его детьми: «чей ты?» — «Беспаленков», то есть сын Безпала.

Есть и менее распространённая версия, связывающая фамилию с глаголом «палити» (жечь, палить). Тогда «беспаленко» могло означать «неопалимый», «тот, кого не жгут», но такое толкование выглядит натянутым и не подкреплено устойчивыми прозвищами. В ономастике чаще встречаются фамилии от конкретных физических признаков (Безпалов, Беспалов), чем от абстрактных качеств.

Географически фамилия Беспаленко встречается в основном в Украине (Черкасская, Полтавская, Киевская области) и в южных регионах России, куда переселялись украинцы. В русском языке фамилию могли «обрусить», заменив суффикс на -ов: Беспаленков. Но исходная форма — именно Беспаленко, с ударением на второй слог (Беспа́ленко), хотя в быту часто говорят и на третий.

Так что, скорее всего, ваш предок был казаком или крестьянином, которого за крепкое сложение или упрямство прозвали Безпалом, а его дети пошли по фамилии Беспаленко. Никакой мистики с огнём — просто пень, да и только.