Фамилия Беспалых — яркий пример северорусской модели образования фамилий. Её выдают суффикс и окончание: -ых. Такая форма (родительный или предложный падеж множественного числа) характерна для фамилий, бытовавших в Архангельской, Вологодской, Вятской губерниях и в Сибири, куда переселенцы унесли этот тип. В отличие от центральной России, где закрепились фамилии на -ов/-ев и -ин, на Русском Севере фиксировали прозвище всей семьи: «Беспалые» — значит «из семьи Беспалого». В современной записи это дало фамилию Беспалых, которая не склоняется.

Основа фамилии — прозвище Беспалый. Его давали человеку, у которого не хватало одного или нескольких пальцев на руке или ноге. Причины могли быть разными: врождённая особенность, потеря в бою, несчастный случай на промысле или наказание. В крестьянском быту, где многое держалось на ручном труде, такой физический недостаток сразу бросался в глаза и становился устойчивым прозвищем. Прямого указания на профессию здесь нет — это чисто приметная, описательная фамилия.

Словообразовательная модель проста: прилагательное «беспалый» (от «без пальца») перешло в разряд существительных — прозвище. Притяжательный суффикс -ых оформил родовую принадлежность. Интересно, что однокоренные фамилии — Беспалов, Беспальцев, Беспалько — образованы по разным региональным моделям. Беспалов — это южнорусский и центральный вариант (с суффиксом -ов), а Беспалых — северный. Западные и украинские земли дали бы форму Беспальченко или Беспальчук.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) эта фамилия не упоминается отдельно, но тип на -их разбирается как характерный для Севера и бывших новгородских земель. Встречаемость фамилии Беспалых невысока, что тоже типично для «северной» модели: такие фамилии реже проникали в общероссийский именник, оставаясь локальными. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни в Вятке, Пермской губернии или Архангельской области — именно там фамилии на -ых держались дольше всего.