Фамилия Биланык — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а, скорее всего, старое прозвище, связанное с бытовой чертой человека. Разбирать её стоит с суффикса -ык. В украинской, польской и белорусской ономастике этот суффикс часто образует названия лиц по действию или характерному признаку (сравните: «гуляка», «растеряха»). В данном случае он присоединён к глагольной основе «билан-», что ведёт нас к глаголу «билати» в южнорусских и украинских говорах.

Слово «билати» (или «білати») означает «белить», «делать белым». Прозвище Биланык могли дать человеку, который занимался отбеливанием холстов или побелкой домов и печей — своего рода маляру или белильщику. Это рабочая, ремесленная фамилия, указывающая на конкретное занятие предка, а не на его внешность (хотя не исключено, что прозвище могло закрепиться за светловолосым или бледным человеком — по аналогии с фамилиями Белов, Беляков, но тогда основа была бы от прилагательного, а не от глагола).

Вторая, менее вероятная версия — связь с диалектным «билан»: так в некоторых регионах называли бледного, худого человека. Однако глагольная модель с суффиксом -ык (била-н-ык) убедительнее указывает именно на деятеля, а не на носителя признака. Фамилия абсолютно нетипична для великорусского севера и центра, её ареал — западные и юго-западные земли: современная Западная Украина, юг Беларуси, восток Польши. В польском языке есть похожая фамилия Bielanyk, что подтверждает западнославянский след.

По сословному происхождению ничего определённого сказать нельзя: фамилия на -ык не была привилегией шляхты или крестьянства, она могла возникнуть в любой среде, где было распространено прозвище по ремеслу. Встречаемость фамилии крайне низкая, что только подкрепляет версию о её локальном, а не общерусском характере. Если ваш предок носил фамилию Биланык, он с высокой вероятностью был выходцем из западноукраинских или польских земель, а его занятие было связано с побелкой или отбеливанием — скорее всего, ремесленным, а не барским.