Фамилия Бочаев — один из тех случаев, когда основа настолько прозрачна, что спорить о происхождении почти не приходится. В её основе лежит слово «боча» — так в южных и центральных русских говорах называли бочку, а точнее, мастера по изготовлению бочек. Бондарь, бочар, боча — это однокоренные слова, обозначавшие одну из самых востребованных профессий в деревенском быту. Без бочек невозможно было ни солить капусту, ни хранить зерно, ни перевозить дёготь или мёд, поэтому бочаров ценили наравне с кузнецами.

Суффикс -ев указывает на притяжательную модель: Бочаев — буквально «сын Бочая» или «из семьи Бочая». Это типичная русская фамилия, образованная от прозвища или профессионального имени отца. Обратите внимание: не -ов, а -ев. Это значит, что основа оканчивалась на мягкий согласный или шипящий (Бочай, Боча), что и дало такой вариант написания. Встречается и более редкая форма Бочаев — с двойным «а» под ударением, но она, скорее всего, возникла из-за акающего произношения или поздней орфографической путаницы.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) модель «профессия + -ев» описывается как одна из самых распространённых, но конкретно Бочаев — фамилия нечастотная. Она не попала в число массовых боярских или дворянских родов, а бытовала в основном среди крестьян и ремесленников центральной России и Поволжья. Если ваш предок носил такое прозвище, он с большой вероятностью сам делал бочки или жил в местности, где этот промысел был развит.

Интересно, что фамилия Бочаев почти не имеет параллельных форм с другими суффиксами — нет, скажем, массовых Бочагиных или Бочаровых, хотя Бочаров встречается. Это говорит о том, что прозвище Бочай было локальным, не вытесненным более литературным «бочар». В современной России фамилия встречается рассеянно, без ярко выраженного регионального гнезда, что типично для ремесленных фамилий, носители которых разошлись по стране в ходе переселений XIX–XX веков.

Если у вас есть версия, что фамилия могла произойти от тюркского или кавказского корня (например, от «боча» — «козлёнок» в некоторых языках), стоит учитывать, что для русского ономастикона такое объяснение менее вероятно: слишком устойчива связь с бондарным делом. Но в редких случаях, особенно в южных регионах, смешение языковых традиций не исключено.