Фамилия Бочагина — женская форма фамилии Бочагин, и её происхождение напрямую связано с ремеслом. Основа — слово «бочаг». В русских говорах так называли мастера, который делал бочки, то есть бондаря, или, что точнее, человека, занимавшегося изготовлением и ремонтом деревянных бочек и кадок. Слово «бочаг» — диалектный вариант более привычного «бондарь», «бочар». Если в центральных губерниях закрепилась фамилия Бондарев, то в северных и поволжских областях, где говорили «бочаг», возникла фамилия Бочагин.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Бочагин — сын Бочага, то есть потомок человека, носившего прозвище Бочаг. Такая модель образования — одна из самых распространённых в русском языке, она характерна для фамилий, произошедших от прозвищ или профессий, заканчивающихся на -а, -я. В этом смысле Бочагин стоит в одном ряду с Кузнецовым, Плотниковым, но с той разницей, что в основе лежит не литературное, а местное, диалектное название профессии.

Интересно, что в некоторых говорах слово «бочаг» могло иметь и переносное значение — так называли коренастого, плотного человека, похожего на бочонок. Не исключено, что в отдельных случаях фамилия могла закрепиться не за ремесленником, а за человеком с такой внешностью или осанкой. Но профессиональное объяснение — основное и самое вероятное.

В переписных книгах и ревизских сказках XVII–XVIII веков фамилия Бочагин встречается преимущественно в северных уездах — Вологодском, Архангельском, Вятском, а также в Поволжье. Это подтверждает её диалектную природу: именно там слово «бочаг» было в ходу, тогда как на юге и западе России чаще говорили «бондарь». География бытования фамилии — хороший маркер, позволяющий отличить её от более поздних, книжных вариантов.

Таким образом, Бочагина — фамилия, которая прямо говорит о занятии предка. Если ваши предки носили её, с высокой вероятностью среди них были мастера-бочары, работавшие с деревом, делавшие кадки, ушаты и бочки — необходимую в крестьянском хозяйстве посуду.