Фамилия Бочалгин — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Её основа не лежит на поверхности, поэтому разбор стоит начать не с корня, а с суффикса и модели образования.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — «сын такого-то». Чаще всего такие фамилии образовывали от личных имён или прозвищ, оканчивающихся на -а, -я. Бочалгин — явно не от имени Бочалга (такого в святцах нет), а от прозвища Бочалга. Что оно могло значить? Правдоподобная версия отсылает к диалектному слову «бочаг» — глубокая лужа, омут, яма с водой. В северных и сибирских говорах «бочаг» встречается часто. Тогда Бочалга — человек, живший у бочага, или тот, кого прозвали по характерной черте, связанной с водой. Суффикс -лг- в прозвище редок, он мог придать слову уничижительный или просторечный оттенок, как в «верзила», «забияка».

Есть и другая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование. В некоторых говорах «бочалить» означало «медлить, возиться». Прозвище Бочалга могли дать нерасторопному или кропотливому человеку. Однако связь с «бочагом» выглядит надёжнее из-за географической привязки: фамилия Бочалгин встречается в основном в Поволжье и на Урале, где слово «бочаг» действительно бытовало.

Фамилия не относится к дворянским или купеческим — скорее всего, её носили крестьяне или посадские люди. В документах XVIII–XIX веков она могла фиксироваться в вариантах Бочалгин, Бочалкин, Бочагов, но именно форма на -гин закрепилась. Сравните с однокоренными фамилиями Бочагов, Бочажников — они тоже образованы от «бочага», но разными суффиксами. Бочалгин стоит особняком из-за своей нестандартной словообразовательной цепочки: бочаг → Бочалга → Бочалгин.

Если ваши предки носили эту фамилию, они могли быть жителями лесной или болотистой местности, где часто встречались бочаги. Точнее сказать сложно — фамилия не попала в массовые справочники, и её носители исторически не оставили яркого следа в летописях. Но это и делает её ценной: она сохранила редкое диалектное слово, которое почти исчезло из речи.