Фамилия Бодренкова — женская форма от Бодренков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или нецерковного имени Бодренок. Разберём эту цепочку, потому что в ней скрыта главная особенность фамилии: редкий суффикс -енок.

В русской антропонимии суффикс -енок (и его фонетический вариант -онок) характерен для северных и центральных областей России, особенно для новгородских и владимирских земель. Первоначально он означал «маленький, молодой» или «сын»: Бодренок — это буквально «маленький Бодрый» или «сын Бодрого». То есть фамилия указывала не на самого человека, а на его отца, которого в быту звали Бодрый. Такая модель — именование по отцу с суффиксом -енок — была широко распространена в XVI–XVII веках, но к XIX веку почти вытеснена стандартными -ов/-ев и -ин. Поэтому фамилии вроде Бодренков сохраняют архаичный, диалектный оттенок и часто указывают на конкретный регион происхождения — например, бывшие новгородские пятины или Поволжье.

Основа бодр- восходит к древнерусскому прилагательному «бодрый» — не только в современном значении «энергичный, неутомимый», но и в более древнем: «крепкий, сильный, здоровый, живой». В ономастике это типичное прозвище по характеру или физическому состоянию. Человек, которого прозвали Бодрым, мог быть деятельным, подвижным, всегда в тонусе, либо, наоборот, так его иронично называли за медлительность — но первая версия правдоподобнее, поскольку прозвища чаще давались по реальному качеству.

Встречается и гипотеза, что Бодренков может быть связан с диалектным словом «бодрень» — так в некоторых говорах называли бодливую корову или быка, а в переносном смысле — сварливого, неуживчивого человека. Однако эта версия менее убедительна: суффикс -енок в таком случае образовывал бы фамилию от «Бодрень» (Бодренок), что грамматически возможно, но оставляет вопрос о самом слове «бодрень» — оно редкое и локальное, тогда как «бодрый» — общеупотребительное.

Таким образом, носитель фамилии Бодренков — потомок человека по прозвищу Бодрый или Бодренок, жившего, скорее всего, в северной или центральной части России. Фамилия недворянская, крестьянская или посадская, и её редкость сегодня — прямое следствие архаичной словообразовательной модели, не ставшей массовой.