Фамилия Бодягаев — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а слово с неочевидным, почти диалектным значением. Разбирать её стоит с корня, потому что суффикс -ев здесь стандартный: он указывает на принадлежность («чей?»), то есть Бодягаев — сын Бодягая или потомок человека с прозвищем Бодягай.

Ключевой вопрос — что такое «бодяга» или «бодягай». В литературном русском языке «бодяга» — это пресноводная губка, бадяга, которую в народной медицине применяли от синяков и ревматизма. Но прозвище вряд ли дали за любовь к лекарственным травам. Скорее всего, тут работает диалектное значение. В ряде южнорусских и украинских говоров «бодяга» означала «медлительный человек», «копуша» или, наоборот, «непоседа» (от глагола «бодяться» — толкаться, бодаться). Есть и версия, что «бодягай» — вариант прозвища Бодяга, образованный с помощью малопродуктивного суффикса -ай (как Ломай, Стреляй), который часто давали людям за характерную привычку или поведение.

Таким образом, первый носитель фамилии — человек, которого в деревне окрестили Бодягаем за какой-то бойкий, неуступчивый нрав или, напротив, за вялость и нерасторопность. Второй вариант встречается в ономастике реже, но исключать его нельзя, так как прозвища часто строились на противопоставлении внешнего и внутреннего.

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и югу России. Встречается она нечасто, в основном в Самарской, Саратовской и Волгоградской областях. Это косвенно подтверждает диалектную природу корня: слово «бодяга» в значении «копуша» фиксируется именно в этих местах. В официальных переписях XIX века Бодягаевы числились в основном государственными крестьянами — то есть лично свободными землепашцами, а не крепостными.

Любопытная деталь: фамилия могла возникнуть и как «географическая» — от названия речки или урочища Бодяга (такие микротопонимы есть в бассейне Дона). Но это лишь догадка, так как письменных подтверждений этому нет. В любом случае, Бодягаев — фамилия, которая хранит в себе не книжное, а живое народное слово, вышедшее из активного употребления.