Фамилия Богачкин — одна из тех, что прямо указывает на достаток и статус предка. В её основе лежит слово «богатый», а точнее — производное от него прозвище Богачка. Так на Руси называли человека зажиточного, владевшего имуществом и деньгами. Впрочем, не стоит понимать это буквально: в крестьянской среде прозвище могло быть и охранительным, данное «от противного», чтобы уберечь ребёнка от бедности. Мирское имя Богачка тоже встречалось — родители давали его с пожеланием сыну богатой и счастливой судьбы.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — сын Богачки). Такие фамилии типичны для центральной России и северных областей, где патронимическая форма на -ин была особенно распространена. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще образовывались от имён и прозвищ на твёрдый согласный, суффикс -ин крепился к основам на -а/-я. Богачка → Богачкин — классический случай.

Исторические документы фиксируют однокоренные прозвища: в 1573 году упомянут Федор Богатков, царский конюх, а в 1545-м — Иван Богатый, холоп. Эти записи из архива С. Б. Веселовского показывают, что корень «богат-» активно использовался в русской антропонимии XVI века. Сама фамилия Богачкин, скорее всего, оформилась чуть позже, когда прозвища начали закрепляться за потомками и передаваться по наследству.

Точную географию фамилии назвать сложно, но судя по модели образования, её носители могли жить в районах, где бытовала «акающая» форма Богачка (вместо диалектного Богачко или Богатко). В любом случае, фамилия Богачкин — это не просто указание на богатство, а отражение народной традиции называть человека по его самому заметному качеству или по заветной мечте родителей.