Фамилия Богатинская — это, скорее всего, женская форма фамилии Богатинский. Чтобы понять её происхождение, нужно разобраться с основой, а она не так проста, как кажется на первый взгляд. Самое прямое и напрашивающееся объяснение — от слова «богатый». Но тут есть нюанс: фамилии в форме прилагательного на -ский/-цкий в массе своей принадлежали польской шляхте, украинской и белорусской знати или духовенству. В русской среде такие фамилии часто образовывались от названий местности — села или усадьбы. Поэтому Богатинский — это, скорее, не «сын богатого», а «тот, кто из Богатина».

Такой топоним — село или деревня Богатино (или Богатин) — вполне реален. В России есть несколько населённых пунктов с таким названием, например, в Псковской области. В этом случае фамилия указывала на географическое происхождение человека: помещик из имения Богатино или крестьянин, приписанный к этому селу, при переписи получал прозвание Богатинский. Такая модель — одна из самых распространённых для фамилий на -ский.

Вторая, менее вероятная для этой конкретной формы, но возможная версия — происхождение от прозвища Богата или Богатый с добавлением суффикса -ин(ск)-. В польской ономастике фамилии вроде Bogaciński могли даваться как «украшающие» — от прилагательного «богатый», но без прямой связи с реальным богатством. Однако в русском языке для прямого указания на достаток чаще использовали суффиксы -ов/-ев: Богатов, Богачёв. Форма на -инский здесь выглядит искусственной, книжной, что опять же склоняет к версии о топонимическом происхождении.

Обратите внимание на написание: Богатинская, а не Богатынская. Это исключает связь с былинным богатырём. Корень здесь именно «богат-», что роднит фамилию, например, с Богатиковым или Богатенковым, но указывает на другую социальную среду — вероятно, на дворянскую или мещанскую, где фамилии оформлялись по польскому образцу. В любом случае, предок носительницы этой фамилии был либо выходцем из населённого пункта с «богатым» названием, либо, что реже, получил прозвище, которое при переезде в другую местность «облагородили» шляхетским окончанием.