Фамилия Богацкии — один из тех случаев, когда написание «на глаз» может сбить с толку. В русском языке эта фамилия чаще всего встречается в форме Богацкий, а написание с двумя «и» на конце — либо результат старой орфографии (до реформы 1918 года так писали многие фамилии на -ский), либо украинский или польский вариант (с ударением на последний слог). Если вы встретили именно «Богацкии», скорее всего, перед вами либо форма множественного числа («семья Богацких» в старой записи), либо просто графическая ошибка. Мы же разберём основу.

Корень здесь — «богат-», от прилагательного «богатый». Фамилия образована по модели, типичной для шляхетских и духовных фамилий Речи Посполитой: основа + суффикс -ск- + окончание. В польской традиции Богацкий (Bogacki) — это типичная фамилия от прозвища или названия имения. В русской среде суффикс -ский чаще указывал на принадлежность к месту или сословию, но в данном случае он мог просто «ополячивать» исходное прозвище Богатый, придавая ему более благородное звучание.

Кем мог быть предок? Вариантов два, и оба логичны. Первый: человек, получивший прозвище Богатый за своё состояние, удачу в торговле или просто по иронии — за бедность. Второй: переселенец из села или местечка с названием Богатое, Богатка или Богач (такие топонимы встречаются в Польше, Беларуси и на Украине). В этом случае фамилия указывала не на личное качество, а на место, откуда человек родом.

Интересная деталь: в отличие от фамилии Богатов, где суффикс -ов прямо указывает на «сына богатого», суффикс -ский в Богацком часто сигнализирует о более высоком социальном происхождении — мелкопоместной шляхте или духовенстве. Однако в XIX веке эту модель активно перенимали и крестьяне, и мещане, так что сословную принадлежность без конкретных документов определить нельзя.

В написании «Богацкии» (с двумя «и») можно заподозрить влияние польской орфографии, где прилагательные и фамилии в мужском роде в именительном падеже пишутся через -i, а не через -ий. Если ваша фамилия именно так зафиксирована в документах, это может указывать на то, что предки были поляками или жили на западных окраинах Российской империи, где польская письменная традиция сохранялась. В любом случае, основа одна: фамилия прямая и незамысловатая, без тёмных корней — она либо хвалит предка за достаток, либо называет его по родному селу.