Фамилия Богацкой — это женская форма фамилии Богацкий, которая относится к так называемым «фамилиям-прилагательным». В русской традиции такие фамилии в женском роде оканчиваются на -ая, в мужском — на -ий. Модель образования типична для польской шляхты и украинской старшины, где суффикс -цк-/-ск- указывал на дворянское происхождение или принадлежность к местности. Однако в случае с Богацким корень не географический, а прозвищный.

Основа фамилии — «богат-» от слова «богатый». В восточнославянской ономастике прозвище Богатый давали не столько за реальное состояние, сколько за характер: щедрого, хлебосольного человека или, напротив, того, кто кичился достатком. Суффикс -цк- в данном случае мог выполнять функцию «усиления» признака: Богацкий — это не просто «богатый», а «из богатых», «относящийся к богатству». Такая модель встречается в фамилиях вроде Знаменский (от «знамя») или Милорадович, но с прилагательным — реже.

Есть и вторая, менее очевидная версия: от названия населённого пункта Богатое или Богатка. Такие топонимы встречаются в Беларуси и на Украине. Если предок носителя фамилии происходил из такого села, то Богацкий — это «тот, кто из Богатого». В пользу этой гипотезы говорит распространённость фамилии в западных регионах бывшей Речи Посполитой, где топонимические фамилии на -ский были особенно популярны среди мелкой шляхты.

Географически фамилия Богацкий (и Богацкая) чаще всего встречается на юго-западе России, в Беларуси и на Украине. В России её носители концентрируются в Краснодарском крае и Ростовской области — это следствие переселений крестьян и казаков в XIX–XX веках. Сословно — это могли быть как крестьяне, получившие фамилию по прозвищу, так и обедневшие шляхтичи, утратившие привилегии, но сохранившие характерную фамильную форму.

Спорных версий здесь немного: иногда фамилию ошибочно связывают с тюркским словом «богатырь», но это натяжка — фонетически и семантически «богат-» ближе к славянскому корню. Словарь Б. Унбегауна относит такие фамилии к группе образованных от прилагательных без уменьшительных суффиксов, что подтверждает прямую связь с прозвищем.

Так что, если вы носите фамилию Богацкая, ваши предки скорее всего жили на западе славянского мира и либо выделялись достатком, либо происходили из села с «говорящим» названием.