Фамилия Богацькый — редкий случай, когда написание выдаёт украинское происхождение носителя. Мягкий знак в суффиксе и окончание -ый вместо привычного -ий (сравните: украинское «богацький» против русского «богатский») — это следствие адаптации украинской фамилии к русской орфографической традиции XIX–XX веков. В самой Украине фамилия пишется как Богацький, а на западе страны встречается вариант Богацьків.

Разберём основу. В центре — корень «богат-», который восходит к древнерусскому «богатъ» (имущий, зажиточный). Но суффикс -цьк- (или -ськ-) указывает, что перед нами не просто прозвище богача, а топонимическая фамилия. Такие фамилии образовывали от названия места: «из Богатого» или «из села Богатка». Поскольку суффикс -ськ- в украинских фамилиях часто заменял русское -ск-, исходным пунктом могло быть любое село с корнем «богат-» — Богатое, Богатовка, Богачки. В Полтавской и Черниговской губерниях такие названия были распространены.

Есть и вторая, менее вероятная версия: фамилия могла возникнуть как патроним от прозвища Богатко (уменьшительное от «богатый»). Но тогда мы ожидали бы суффикс -енко или -ук, а не -цьк-. Поэтому версия с географическим происхождением выглядит убедительнее.

Социальный контекст прост: фамилия не дворянская. В малороссийских губерниях её носили в основном казаки и крестьяне, чьи предки либо жили в селе с «богатым» названием, либо получили прозвище за хозяйственность. В современной России фамилия встречается редко — в основном на юге, в Ростовской области и Краснодарском крае, куда переселялись украинцы в конце XIX века.

Если вы носите фамилию Богацькый, с высокой вероятностью ваши предки — выходцы из центральной или левобережной Украины, из мест, где земля или угодья называли «богатыми». Точнее сказать без генеалогического поиска сложно: сел с таким корнем десятки, и каждое могло дать начало отдельному роду.